التكامل بالتجزئة في التفاضل والتكامل

دروس تعليمية، أمثلة محلولة مع حلول قابلة للطي، تمارين تدريبية، والإجابات

تم تقديم أمثلة مع حلول مفصلة وتمارين مع إجابات حول كيفية استخدام تقنية التكامل بالتجزئة لإيجاد التكاملات.

مراجعة التكامل بالتجزئة

يمكن استخدام طريقى التكامل بالتجزئة لتكامل حاصل ضرب الدوال بسهولة. تبدأ الفكرة الأساسية للتكامل بالتجزئة بمشتقة حاصل ضرب دالتين \( u \) و \( v \) كما هو معطى بواسطة:

\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]

أعد كتابة المعادلة أعلاه على شكل:

\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]

خذ التكامل لكلا طرفي المعادلة:

\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]

مع ملاحظة أن \( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \)، يتم تبسيط التعبير للحصول على قاعدة التكامل بالتجزئة:

\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]

ملاحظة أن أي اختيار لأي دالة في الاقتران المراد تكامله يتم اختيارها كـ \( u \) وأي منها يتم اختيارها كـ \( \dfrac{dv}{dx} \) يجب أن تبسط التكامل في الطرف الأيمن من الصيغة.

أمثلة مع حلول مفصلة

فيما يلي، \( c \) هو ثابت التكامل.

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)

حل المثال 1:

\( 3 \) هو ثابت وبالتالي يمكن إخراجه خارج إشارة التكامل.

لتكن \( u = x \) و \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) و \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \). باستخدام طريقى التكامل بالتجزئة:

\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)

حل المثال 2:

لتكن \( u = x \) و \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) و \( v = -\cos(x) \). تطبيق التكامل بالتجزئة:

\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]
المثال 3: احسب \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)

حل المثال 3:

لتكن \( u = x^2 \) و \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) و \( v = \sin(x) \). طبق التكامل بالتجزئة:

\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]

نطبق الآن التكامل بالتجزئة على التكامل المتبقي \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \). كما تم حسابه في المثال 2، \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \). بالتعويض بهذا مرة أخرى:

\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]
المثال 4: احسب \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)

حل المثال 4:

لتكن \( u = \ln(x) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = x \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) و \( v = \dfrac{x^2}{2} \). طبق التكامل بالتجزئة:

\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]
المثال 5: احسب \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)

حل المثال 5:

لتكن \( u = x \) و \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) و \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \):

\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]
المثال 6: استخدم التكامل بالتجزئة لحساب \( \displaystyle \int \ln x \, dx \)

حل المثال 6:

نعيد أولاً كتابة الاقتران المراد تكامله \( \ln(x) \) على شكل \( 1 \cdot \ln(x) \):

\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]

لتكن \( u = \ln(x) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \)، إذن \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) و \( v = x \). باستخدام التكامل بالتجزئة:

\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]
المثال 7: استخدم التكامل بالتجزئة لحساب \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \)

حل المثال 7:

لتكن \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) و \( u = (\ln x)^2 \)، إذن \( v = \dfrac{x^3}{3} \) و \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \). باستخدام التكامل بالتجزئة:

\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]

طبق الآن التكامل بالتجزئة للمرة الثانية على \( \int x^2 \ln x \, dx \) (حيث \( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)):

\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]
المثال 8: احسب \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)

حل المثال 8:

لتكن \( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \).

لتكن \( v = \sin(2x) \) و \( \dfrac{du}{dx} = e^x \)، إذن \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \) و \( u = e^x \). باستخدام التكامل بالتجزئة:

\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \]
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]

طبق الآن التكامل بالتجزئة مرة أخرى على \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) (لتكن \( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)):

\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \]
\[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]

بما أن التكامل في الطرف الأيمن هو \( I \)، لدينا:

\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]

بالحل بالنسبة لـ \( I \):

\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \]
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]

التمارين

استخدم جدول التكاملات وطريقة التكامل بالتجزئة لإيجاد التكاملات أدناه. [ملاحظة: قد تحتاج إلى استخدام طريقي التكامل بالتجزئة أكثر من مرة].

  1. \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
  5. \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
  6. \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
  7. \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)

إجابات التمارين أعلاه

  1. \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
  2. \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
  3. \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
  4. \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
  5. \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
  6. \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
  7. \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)

المزيد من المراجع والروابط