يتم تقديم خطوات إيجاد تكامل دالة لوغاريتمية لأي أساس أدناه.
استخدام صيغة تغيير الأساس
ليكن \( y = \log_a x \).
استخدم صيغة تغيير الأساس لإعادة كتابة \( y = \log_a x \) باستخدام اللوغاريتم الطبيعي (\( \ln \)):
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]
نقيم الآن التكامل:
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]
بما أن \( \ln a \) ثابت، يمكننا إخراجه خارج التكامل:
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]
تكامل \( \ln x \) يُعطى بـ:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]
عوض بهذا مرة أخرى في المعادلة (I) لنحصل على:
صيغة التكامل لـ \( \log_a x \):
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]