ما هي قاعدة السلسلة في التفاضل والتكامل؟

قاعدة السلسلة هي صيغة تستخدم لحساب مشتقة دالة مركبة. إذا كانت f(x) = g(h(x))، فإن المشتقة هي f'(x) = (df/du) * (du/dx)، حيث u = h(x).

قاعدة السلسلة في التفاضل والتكامل

تم تقديم قاعدة السلسلة في التفاضل والتكامل للدوال مع عدة أمثلة وحلول مفصلة وتعليقات. كما تم تضمين التمارين مع الإجابات.

قاعدة السلسلة للتفاضل

لتكن \( f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)) \) تركيب دالتين. ليكن \( u = h(x) \). باستخدام هذا التعويض، يمكن كتابة الدالة \( f \) كالتالي:

\[ f(x) = g(u) \]

المشتقة \( f' \) للدالة \( f \) بالنسبة لـ \( x \) تُعطى بواسطة قاعدة السلسلة للتفاضل [1]:

صيغة قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \]

أمثلة باستخدام قاعدة السلسلة للتفاضل

نقدم الآن عدة أمثلة على تطبيقات قاعدة السلسلة.

أمثلة محلولة: حلول خطوة بخطوة

المثال 1

أوجد المشتقة \( f'(x) \) بمعلومية:

\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

الحل للمثال 1:

ليكن \( u = 5x - 2 \) و \( f(u) = 4 \cos u \)، ومن ثم:

\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{و} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]

نستخدم الآن قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]

عوض بـ \( u = 5x - 2 \) مرة أخرى في التعبير:

\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]

المثال 2

أوجد المشتقة \( f'(x) \) بمعلومية:

\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

الحل للمثال 2:

ليكن \( u = x^3 - 4x + 5 \) و \( f(u) = u^4 \)، مما يعطي:

\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{و} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]

استخدام قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]

عوض بـ \( u = x^3 - 4x + 5 \) مرة أخرى:

\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]

المثال 3

أوجد \( f'(x) \) بمعلومية:

\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]

الحل للمثال 3:

ليكن \( u = x^2 + 2x - 1 \) و \( f(u) = \sqrt{u} \)، مما يعطي:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{و} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]

استخدم قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

أخرج العامل 2 في البسط والمقام وبسّط:

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]

المثال 4

أوجد المشتقة الأولى لـ \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]

الحل للمثال 4:

ليكن \( u = \sin (2x + 3) \) و \( f(u) = u^2 \)، مما يعطي:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{و} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]

استخدام قاعدة السلسلة يؤدي إلى:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) للتبسيط:

\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]

المثال 5

أوجد المشتقة الأولى لـ \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

الحل للمثال 5:

ليكن \( u = x^2 + x \) و \( f(u) = \ln u \)، ومن ثم:

\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{و} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]

استخدم قاعدة السلسلة وعوض بـ \( u = x^2 + x \):

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]

تمارين على قاعدة السلسلة للتفاضل

مسائل التدريب والإجابات

استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة الأولى لكل من الدوال:

\( f(x) = \cos (3x - 3) \)
\( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
\( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
\( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
\( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)

الإجابات على التمارين أعلاه

\( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
\( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \) (ملاحظة: التحليل يعطي \( 12(2x-1) \) من \( 4(3x^2-3x+8)^3(6x-3) \))
\( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
\( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
\( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)