التكامل بالتعويض

دروس تعليمية، أمثلة محلولة مع حلول قابلة للطي، تمارين تدريبية، والإجابات

دروس تعليمية تتضمن أمثلة، وحلولاً مفصلة، وتمارين مع إجابات حول كيفية استخدام التقنية القوية للتكامل بالتعويض لإيجاد التكاملات.

مراجعة التكامل بالتعويض

يمكن استخدام طريقى التكامل بالتعويض لحساب التكاملات المعقدة بسهولة. لنفحص تكاملاً بالشكل التالي:

\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]

لنقم بالتعويض \( u = g(x) \)، وبالتالي \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) و \( du = g'(x) \, dx \). باستخدام هذا التعويض، يتحول التكامل المحدود إلى:

\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل المضاف إلى التكاملات غير المحدودة.

الأمثلة وحلولها

انقر على كل مثال لعرض الحل خطوة بخطوة.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)

لتكن \( u = ax + b \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = a \) أو \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \). يساعد هذا التعويض في حساب التكامل على النحو التالي:

\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)

لتكن \( u = 3x - 2 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) أو \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \). إذن:

\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]
المثال 3: احسب \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)

لتكن \( u = 2x^2 + 5 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 4x \)، أو \( du = 4x \, dx \)، أو \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \). يعطي التعويض:

\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]
المثال 4: احسب \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)

لتكن \( u = 2x + 1 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) و \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \). حل المعادلة \( u = 2x + 1 \) بالنسبة لـ \( x \) للحصول على \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \). يعطي التعويض:

\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]
المثال 5: احسب \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)

لتكن \( u = x - 5 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 1 \). بالتعويض في التكامل المعطى:

\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]
المثال 6: احسب \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)

لتكن \( u = x^2 + 2 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) و \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \). بالتعويض في التكامل:

\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]
المثال 7: احسب \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)

لتكن \( u = \sin(x) \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) أو \( \cos(x) \, dx = du \). بالتعويض في التكامل:

\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]
المثال 8: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)

لتكن \( u = 4x + 1 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) أو \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \). الحل بالنسبة لـ \( x \) يعطي \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). عوض للحصول على:

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]
المثال 9: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)

لتكن \( u = x - 2 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)، و \( dx = du \)، و \( x = u + 2 \). يؤدي التعويض إلى:

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]
المثال 10: احسب \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)

لتكن \( u = x + 2 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)، و \( dx = du \)، و \( x = u - 2 \) (إذن \( x + 4 = u + 2 \)). بالتعويض بهذا:

\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]
المثال 11: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)

لتكن \( u = x^2 + 3x + 1 \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) أو \( (2x + 3) \, dx = du \). يحسب التعويض التكامل على النحو التالي:

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]

التمارين

استخدم جدول التكاملات وطريقة التكامل بالتعويض لإيجاد التكاملات أدناه:

  1. \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)

إجابات التمارين أعلاه

  1. \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
  2. \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
  3. \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
  4. \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)

المزيد من المراجع والروابط

التكاملات وتطبيقاتها في التفاضل والتكامل