جدول صيغ التكامل

1 - تكاملات الدوال الأساسية

• 1.1  
  \( \displaystyle \int dx = x + c \)
• 1.2  
  \( \displaystyle \int k \, dx = kx + c \)
  ، حيث \( k \) ثابت.
• 1.3  
  \( \displaystyle \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \)
  (\( n \neq -1 \))
• 1.4  
  \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + c \)

2 - تكاملات الدوال المثلثية الأساسية

التي تتضمن \( \sin x \)، \( \cos x \)، \( \tan x \)، \( \cot x \)، \( \sec x \)، و \( \csc x \).

• 2.1  
  \( \displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + c \)
• 2.2  
  \( \displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + c \)
• 2.3  
  \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + c \)
• 2.4  
  \( \displaystyle \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + c \)
• 2.5  
  \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + c \)
• 2.6  
  \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + c \)

3 - تكاملات تتضمن أكثر من دالة مثلثية واحدة

• 3.1  
  \( \displaystyle \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + c \)
• 3.2  
  \( \displaystyle \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + c \)
• 3.3  
  \( \displaystyle \int \sin mx \sin nx \, dx = -\dfrac{\sin[(m+n)x]}{2(m+n)} + \dfrac{\sin[(m-n)x]}{2(m-n)} + c \)
  ، لـ \( m \neq n \)
• 3.4  
  \( \displaystyle \int \cos mx \cos nx \, dx = \dfrac{\sin[(m+n)x]}{2(m+n)} + \dfrac{\sin[(m-n)x]}{2(m-n)} + c \)
  ، لـ \( m \neq n \)
• 3.5  
  \( \displaystyle \int \sin mx \cos nx \, dx = -\dfrac{\cos[(m+n)x]}{2(m+n)} - \dfrac{\cos[(m-n)x]}{2(m-n)} + c \)
  ، لـ \( m \neq n \)

4 - تكاملات تتضمن الدوال الأسية واللوغاريتمية

• 4.1  
  \( \displaystyle \int e^x \, dx = e^x + c \)
• 4.2  
  \( \displaystyle \int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + c \)
• 4.3  
  \( \displaystyle \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \)

5 - تكاملات الدوال المثلثية العكسية

التي تتضمن \( \arcsin x \)، \( \arccos x \)، \( \arctan x \)، \( \text{arccot} \, x \)، \( \text{arcsec} \, x \)، و \( \text{arccsc} \, x \).

• 5.1  
  \( \displaystyle \int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + c \)
• 5.2  
  \( \displaystyle \int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + c \)
• 5.3  
  \( \displaystyle \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \ln\left|\sqrt{1 + x^2}\right| + c \)
• 5.4  
  \( \displaystyle \int \text{arccot} \, x \, dx = x \, \text{arccot} \, x + \ln\sqrt{1 + x^2} + c \)
• 5.5  
  \( \displaystyle \int \text{arcsec} \, x \, dx = x \, \text{arcsec} \, x - \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 1}\right| + c \)
• 5.6  
  \( \displaystyle \int \text{arccsc} \, x \, dx = x \, \text{arccsc} \, x + \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 1}\right| + c \)

6 - تكاملات تتضمن الدوال الأسية ودوال الجيب/جيب التمام

• 6.1  
  \( \displaystyle \int e^{ax} \sin bx \, dx = \dfrac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + c \)
• 6.2  
  \( \displaystyle \int e^{ax} \cos bx \, dx = \dfrac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (b \sin bx + a \cos bx) + c \)

7 - تكاملات تتضمن الدوال الزائدية

التي تتضمن \( \sinh x \)، \( \cosh x \)، \( \tanh x \)، \( \coth x \)، \( \text{sech} \, x \)، و \( \text{csch} \, x \).

• 7.1  
  \( \displaystyle \int \sinh x \, dx = \cosh x + c \)
• 7.2  
  \( \displaystyle \int \cosh x \, dx = \sinh x + c \)
• 7.3  
  \( \displaystyle \int \text{sech} \, x \tanh x \, dx = -\text{sech} \, x + c \)
• 7.4  
  \( \displaystyle \int \text{csch} \, x \coth x \, dx = -\text{csch} \, x + c \)
• 7.5  
  \( \displaystyle \int \text{sech}^2 x \, dx = \tanh x + c \)
• 7.6  
  \( \displaystyle \int \text{csch}^2 x \, dx = -\coth x + c \)

المزيد من المراجع والروابط

• التكاملات وتطبيقاتها في التفاضل والتكامل
• تقييم التكاملات غير المحدودة
• التكامل بالتعويض