كيف تحسب طول المنحنى في الإحداثيات الديكارتية؟

يُعطى طول L لمنحنى أملس y = f(x) من x = a إلى x = b بواسطة التكامل المحدود L = التكامل من a إلى b للجذر التربيعي لـ (1 + (df/dx)^2) dx.

طول المنحنى (طول القوس) – الصيغ، الاشتقاق والأمثلة

صيغة طول المنحنى

بالنسبة لـ \( f \) المتصل والقابل للإشتقاق على الفترة \( [a, b] \)، يُعطى طول المنحنى \( y = f(x) \) من \( a \) إلى \( b \) بواسطة [1] [2] [3]:

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{df}{dx} \right)^2} \, dx \]

طول القوس — **الشكل 1** - طول المنحنى من النقطة \( (a, f(a)) \) إلى النقطة \( (b, f(b)) \)

الأمثلة والحلول

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: أوجد طول قوس القطع المكافئ \( y = 0.1x^2 + 2 \) بين النقطتين \( (-15, 24.5) \) و \( (10, 12) \).

حل المثال 1:

نحسب المشتقة أولاً:

\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2x \]

استخدم صيغة طول القوس:

\[ L = \int_{-15}^{10} \sqrt{1 + (0.2x)^2} \, dx \]

استخدم التعويض المثلثي \( \tan u = 0.2x \). أخذ المشتقة لكلا الطرفين يعطي:

\[ \sec^2 u \, du = 0.2 \, dx \implies dx = 5\sec^2 u \, du \]

حل المعادلة \( \tan u = 0.2x \) بالنسبة لـ \( u \) يعطي \( u = \arctan(0.2x) \). حدود التكامل بعد التعويض هي:

\( u_1 = \arctan(0.2(-15)) = \arctan(-3) \approx -1.24904 \) (عندما \( x = -15 \))
\( u_2 = \arctan(0.2(10)) = \arctan(2) \approx 1.10714 \) (عندما \( x = 10 \))

بالتعويض في التكامل:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sqrt{1 + \tan^2 u} \sec^2 u \, du \]

باستخدام المتطابقة \( \sqrt{1 + \tan^2 u} = |\sec u| \):

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} |\sec u| \sec^2 u \, du \]

بما أن \( \sec u > 0 \) على الفترة \( [-1.24904, 1.10714] \)، فإن \( |\sec u| = \sec u \)، مما ينتج عنه:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sec^3 u \, du \]

باستخدام تكامل \( \sec^3 u \):

\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln|\sec u + \tan u| \right) \right]_{-1.24904}^{1.10714} \approx 43.05 \]

المثال 2: أوجد طول القوس على طول المنحنى \( f(x) = \ln(\sin x) \) بين النقطتين \( \left(\dfrac{\pi}{4}, f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \) و \( \left(\dfrac{\pi}{2}, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \).

طول القوس على طول المنحنى y = ln(sin(x)) — **الشكل 3** - طول القوس على طول المنحنى \( y = \ln(\sin x) \)

حل المثال 2:

احسب المشتقة:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)] = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

تطبيق صيغة طول القوس:

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (\cot x)^2} \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \):

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\csc^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\csc x| \, dx \]

بما أن \( \csc x > 0 \) على الفترة المغلقة \( \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right] \)، فإن \( |\csc x| = \csc x \):

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc x \, dx \]

باستخدام صيغة التكامل القياسية \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C \):

\[ L = \left[ \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(1) - \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) \approx 0 - (-0.88137) \approx 0.88137 \]

المثال 3: أوجد طول القوس على طول نصف الدائرة المعطى بـ \( f(x) = 2 + \sqrt{9 - (x+2)^2} \) بين النقطتين \( (-4, f(-4)) \) و \( (0, f(0)) \).

حل المثال 3:

احسب المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{-2(x+2)}{2\sqrt{9 - (x+2)^2}} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]

تطبيق صيغة طول القوس:

\[ L = \int_{-4}^{0} \sqrt{1 + \left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2} \, dx \]

بسط الاقتران المراد تكامله:

\[ 1 + \dfrac{(x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9 - (x+2)^2 + (x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9}{9 - (x+2)^2} \]

أخذ الجذر التربيعي:

\[ L = \int_{-4}^{0} \dfrac{3}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \, dx \]

باستخدام التعويض \( u = x+2 \)، \( du = dx \). عندما \( x = -4 \)، يكون \( u = -2 \)؛ وعندما \( x = 0 \)، يكون \( u = 2 \):

\[ L = \int_{-2}^{2} \dfrac{3}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = 3 \left[ \arcsin\left(\dfrac{u}{3}\right) \right]_{-2}^{2} \]

\[ = 3 \left( \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) - \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right) \right) = 6 \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 4.38 \]

صيغة طول المنحنى

الأمثلة والحلول

المزيد من المراجع والروابط