تحليل الكسور الجزئية

القواعد، أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، أسئلة تدريبية، والإجابات

يتم عرض تحليل الكسور [1] إلى كسور أبسط يمكن التحكم فيها. أحد التطبيقات المهمة لذلك هو في حساب تكامل الدوال الكسرية في التفاضل والتكامل. يتم تضمين أمثلة وأسئلة وحلولها.

يمكن استخدام حاسبة تحليل الكسور الجزئية عبر الإنترنت للتحقق من الإجابات على الأمثلة والأسئلة.

قواعد تحليل الكسور الجزئية

كيف تحلل دالة كسرية \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) إلى كسور جزئية؟

1 - حلل كثير الحدود \( Q(x) \) في مقام الدالة الكسرية أعلاه تماماً إلى عوامل على الشكل:

\[ (ax + b)^m \quad \text{و} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]

مثال: لتكن \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \). يتم تحليل المقام إلى \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \). الحد التربيعي \( x^2 + 2x + 4 \) غير قابل للاختزال في الأعداد الحقيقية.

2 - لكل عامل على الشكل \( (ax + b)^m \)، يتضمن التحليل مجموع الكسور التالي:

\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]

مثال: يتم تحليل الكسر \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) على الشكل \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \).

3 - لكل عامل على الشكل \( (ax^2 + bx + c)^n \)، يتضمن التحليل مجموع الكسور التالي:

\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: حلل إلى كسور جزئية \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \)

حل المثال 1:

نبدأ بتحليل المقام:

\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

كلا العوامل خطي، بأس \( 1 \) لكل منهما، وبالتالي يتم تحليل الكسر المعطى على النحو التالي:

\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]

اضرب كلا الطرفين في أصغر مقام مشترك \( (x - 2)(x + 1) \) وبسط:

\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]

فك الطرف الأيمن وجمع الحدود المتشابهة:

\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]

مساواة معاملات كثيرات الحدود:

\[ 2 = A + B \quad \text{و} \quad 5 = A - 2B \]

حل هذا النظام ينتج عنه \( A = 3 \) و \( B = -1 \). بالتعويض مرة أخرى:

\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]
المثال 2: حلل إلى كسور جزئية \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \)

حل المثال 2:

تحليل المقام:

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

باستخدام قاعدة العوامل الخطية المتكررة:

\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]

اضرب كلا الطرفين في \( (x + 1)^2 \):

\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]

مساواة المعاملات:

\[ -2 = A \quad \text{و} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]

التعويض بـ \( A \) و \( B \):

\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]
المثال 3: حلل إلى كسور جزئية \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \)

حل المثال 3:

حلل باستخدام قواعد العوامل الخطية والتربيعية غير القابلة للاختزال:

\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]

اضرب كلا الطرفين في \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \):

\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]

لتكن \( x = 2 \):

\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]

لتكن \( x = 0 \):

\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]

لتكن \( x = 1 \) (مع العلم أن \( A = 2, C = -1 \)):

\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \]
\[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]

يتحلل الكسر على النحو التالي:

\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]

الأسئلة

حلل الكسور التالية إلى كسور جزئية:

  1. \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
  2. \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
  3. \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)

حلول الأسئلة أعلاه

  1. تحليل المقام: \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
    الإعداد:
    \( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \)

    الإجابة:
    \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \)

  2. المقام محلل مسبقاً.
    الإعداد:
    \( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \)

    الإجابة:
    \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \)

  3. التعبير \( x^2 + 5x + 10 \) لا يمكن تحليله فوق الأعداد الحقيقية (\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)).
    الإعداد:
    \( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \)

    الإجابة:
    \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)

المزيد من المراجع والروابط

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. حاسبة تحليل الكسور الجزئية عبر الإنترنت