تكاملات الدوال الكسرية باستخدام الكسور الجزئية

أمثلة، حلول مفصلة، وتمارين التفاضل والتكامل

احسب تكاملات الدوال الكسرية باستخدام تحليل الكسور الجزئية. يقدم هذا الدرس أمثلة مع حلول مفصلة، بما في ذلك الحالات التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام.

ملاحظة: فيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

يمكنك أيضاً استخدام حاسبة تحليل الكسور الجزئية عبر الإنترنت للمساعدة في تحليل الدوال الكسرية.

أمثلة مع الحلول

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx \)

حل المثال 1:

نستخدم تحليل الكسور الجزئية لتحليل الاقتران المراد تكامله إلى كسور أبسط:

\[ \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{7}{x + 2} \]

نقوم الآن بتقييم التكامل حدًا بحَد:

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{-5x + 11}{x^2 + x - 2} \, dx &= \int \dfrac{2}{x - 1} \, dx - \int \dfrac{7}{x + 2} \, dx \\ &= 2\ln|x - 1| - 7\ln|x + 2| + C \end{aligned} \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx \)

حل المثال 2:

يعطي تحليل الكسور الجزئية للاقتران المراد تكامله:

\[ \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} - \dfrac{1}{x + 3} \]

نقوم الآن بتقييم التكاملات:

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x^2 + 6x - 3}{(x + 3)(x^2 + 2x + 9)} \, dx &= \int \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 9} \, dx - \int \dfrac{1}{x + 3} \, dx \\ &= \ln|x^2 + 2x + 9| - \ln|x + 3| + C \end{aligned} \]
المثال 3: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx \)

حل المثال 3:

في هذا المثال، درجة البسط أكبر من درجة المقام. يتم إجراء القسمة الطويلة لكثيرات الحدود أولاً:

\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x - \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \]

يعطي تحليل الكسور الجزئية للحد \( \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6} \):

\[ \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} = 2x + \dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} \]

باستخدام ما سبق، يمكن كتابة التكامل على شكل:

\[ \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 + 11x}{x^2 + 5x + 6} \, dx = \int 2x \, dx + \int \dfrac{2}{x + 2} \, dx - \int \dfrac{3}{x + 3} \, dx \]

تقييم التكاملات ينتج عنه:

\[ = x^2 + 2\ln|x + 2| - 3\ln|x + 3| + C \]

تمارين تدريبية

احسب التكاملات التالية باستخدام الكسور الجزئية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \)

الحل:

حلل إلى كسور أبسط:

\[ \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} \]

إذن،

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx &= \int \left(\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2}\right) dx \\ &= 2\ln|x - 1| - 3\ln|x + 2| + C \end{aligned} \]
التمرين 2: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx \)

الحل:

حلل إلى كسور أبسط:

\[ \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} = -\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2} \]

إذن،

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{-8x^2 + 23x - 5}{(x + 7)(2x^2 + x + 2)} \, dx &= \int \left(-\dfrac{6}{x + 7} + \dfrac{4x + 1}{2x^2 + x + 2}\right) dx \\ &= \ln|2x^2 + x + 2| - 6\ln|x + 7| + C \end{aligned} \]
التمرين 3: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx \)

الحل:

بما أن درجة البسط أعلى، قم بإجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود أولاً، ثم قم بالتحليل:

\[ \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} = x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2} \]

إذن،

\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 7x + 9}{x^2 + 3x + 2} \, dx &= \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{5}{x + 2}\right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} + 2\ln|x + 1| + 5\ln|x + 2| + C \end{aligned} \]

المزيد من المراجع والروابط