التكاملات التي تتضمن sin(x) بأس زوجي

صيغ خفض الأسس، أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، وتمارين تدريبية

تم تقديم درس تعليمي لإيجاد التكاملات التي تتضمن القوى الزوجية لـ \( \sin(x) \)، باستخدام صيغ خفض الأسس. توجد تمارين مع إجاباتها في أسفل الصفحة. تكامل القوى الفردية لجيب السينية أبسط بكثير.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

مراجعة صيغ خفض الأسس

بالنسبة لـ \( n \) كعدد صحيح موجب، لدينا الصيغ التالية في علم المثلثات والتي يمكن استخدامها لخفض أس \( \sin(x) \):

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)

حل المثال 1:

الفكرة الرئيسية هي استخدام المتطابقة \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) لخفض الأس وجعل التكامل سهل التقييم:

\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)

حل المثال 2:

استخدم صيغ خفض الأسس لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
\[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]

التمارين

احسب التكاملات التالية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين (أ): احسب \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)

الحل:

عوض بصيغ خفض الأسس لكل من \( \sin^6(x) \) و \( \sin^2(x) \):

\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \]
\[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \]
\[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \]
\[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]

إجراء التكامل حدًا بحَد ينتج عنه:

\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]
التمرين (ب): احسب \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)

الحل:

عوض بصيغ خفض الأسس لكل من \( \sin^4(x) \) و \( \sin^2(x) \):

\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \]
\[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \]
\[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \]
\[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]

إجراء التكامل حدًا بحَد ينتج عنه:

\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]

المزيد من المراجع والروابط