التكاملات التي تتضمن sin(x) بأس فردي

أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، تمارين تدريبية، والإجابات

درس تعليمي لإيجاد التكاملات التي تتضمن القوى الفردية لـ \( \sin(x) \). توجد تمارين مع إجاباتها في أسفل الصفحة. تكامل القوى الزوجية لجيب السينية عادة ما يكون أكثر تعقيداً ويتطلب صيغ خفض الأسس.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx \)

حل المثال 1:

الفكرة الرئيسية هي إعادة كتابة أس \( \sin(x) \) على شكل حاصل ضرب حد بأس 1 وحد بأس زوجي:

\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]

إذن، يمكن كتابة التكامل المعطى على النحو التالي:

\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) لكتابة:

\[ \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \]

لتكن \( u = \cos(x) \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) أو \( -du = \sin(x) \, dx \). بالتعويض في التكامل:

\[ \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - 1) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - u + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \):

\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx \)

حل المثال 2:

أعد كتابة \( \sin^5(x) \) على شكل \( \sin^4(x) \sin(x) \). إذن، يصبح التكامل:

\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \]

استخدم المتطابقة \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) لإعادة كتابة \( \sin^4(x) \) بدلالة قوى \( \cos(x) \):

\[ \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \]

لتكن \( u = \cos(x) \)، مما يعطي \( du = -\sin(x) \, dx \) أو \( -du = \sin(x) \, dx \). بالتعويض في التكامل:

\[ \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \]

فك وحساب التكامل على اليمين:

\[ = - \int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = - \left( u - \dfrac{2}{3}u^3 + \dfrac{1}{5}u^5 \right) + C = -\dfrac{1}{5}u^5 + \dfrac{2}{3}u^3 - u + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \):

\[ \int \sin^5(x) \, dx = -\left(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)\right) + C \]

التمارين

احسب التكاملات التالية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1: احسب \( \displaystyle \int \sin^7(x) \, dx \)

الحل:

أعد الكتابة على شكل \( \int \sin^6(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x) \, dx \).

لتكن \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):

\[ = -\int (1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) \, du = - \left( u - u^3 + \dfrac{3}{5}u^5 - \dfrac{1}{7}u^7 \right) + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \):

\[ = \dfrac{1}{7}\cos^7(x) - \dfrac{3}{5}\cos^5(x) + \cos^3(x) - \cos(x) + C \]
التمرين 2: احسب \( \displaystyle \int \sin^9(x) \, dx \)

الحل:

أعد الكتابة على شكل \( \int \sin^8(x)\sin(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^4 \sin(x) \, dx \).

لتكن \( u = \cos(x), du = -\sin(x) \, dx \):

\[ = -\int (1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8) \, du \]
\[ = - \left( u - \dfrac{4}{3}u^3 + \dfrac{6}{5}u^5 - \dfrac{4}{7}u^7 + \dfrac{1}{9}u^9 \right) + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \) ورتب تنازلياً حسب القوى:

\[ = -\dfrac{1}{9}\cos^9(x) + \dfrac{4}{7}\cos^7(x) - \dfrac{6}{5}\cos^5(x) + \dfrac{4}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]

المزيد من المراجع والروابط