إيجاد حجم جذع المخروط باستخدام التفاضل والتكامل

الاشتقاق، الصيغة، والحل خطوة بخطوة باستخدام التكاملات المحدودة

استخدم طريقة القرص حول محور السينات لإيجاد حجم جذع المخروط.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

صيغة حجم جذع المخروط

المسألة: أوجد حجم جذع مخروط ارتفاعه \( h \) ونصف قطراه \( r \) و \( R \) كما هو موضح أدناه.

جذع المخروط بنصفي قطر r و R وارتفاع h
الشكل 1. جذع المخروط بنصفي قطر \( r \) و \( R \) وارتفاع \( h \)

حل المسألة:

يمكن الحصول على جذع المخروط عن طريق دوران \( y = mx \) بين \( x = a \) و \( x = b \) حول محور السينات كما هو موضح أدناه. الارتفاع \( h = b - a \).

جذع المخروط في نظام المحاور
الشكل 2. جذع المخروط الناتج عن دوران خط مستقيم في نظام المحاور

بدوران قرص (باللون الأحمر) نصف قطره \( y \) (وبالتالي مساحته \( \pi y^2 \)) وسمكه \( dx \)، يمكن كتابة حجم \( V \) لجذع المخروط على النحو التالي:

\[ V = \int_a^b \pi y^2 \, dx \quad (I) \]

الميل \( m \) يُعطى بواسطة:

\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]

حيث \( h \) هو ارتفاع جذع المخروط المعطى بـ:

\[ h = b - a \]

عوض عن \( y \) بـ \( mx \) في المعادلة (I) واكتب:

\[ V = m^2 \pi \int_a^b x^2 \, dx \]

احسب التكامل:

\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \]
\[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]

لاحظ أن:

\[ r = m a \quad \text{و} \quad R = m b \]

إذن:

\[ a = \dfrac{r}{m} \quad \text{و} \quad b = \dfrac{R}{m} \]

عوض بهذه القيم في المعادلة (II):

\[ V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]

بسط:

\[ V = \dfrac{1}{3 m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]

عوض عن \( m \) بـ \( \dfrac{R - r}{h} \) في المعادلة أعلاه وأعد كتابتها كـ:

\[ V = \dfrac{\pi h}{3} \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} \quad (III) \]

لاحظ أنه باستخدام قسمة كثيرات الحدود في متغيرين، يمكن بسط \( \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} \) على النحو التالي:

\[ \dfrac{R^3 - r^3}{R - r} = R^2 + rR + r^2 \]

عوض بما سبق في المعادلة (III) للحصول على الصيغة النهائية لحجم جذع المخروط:

\[ \Large \displaystyle \boxed{V = \dfrac{\pi h}{3} \left(R^2 + rR + r^2\right)} \]

المزيد من المراجع والروابط