حجم جسم دوراني

طريقتا الأقراص والحلقات مع حلول مفصلة

مقدمة في الأجسام الدورانية

تعرف على كيفية إيجاد حجم جسم دوراني ناتج عن دوران منطقة محاطة بمنحنيات حول محور السينات أو محور الصادات. يستخدم هذا الدرس التكاملات المحدودة ويغطي كلاً من طريقة الأقراص (للأشكال المصمتة) وطريقة الحلقات (للأشكال ذات المراكز الأجوفة)، مع الصيغ، والأشكال التوضيحية، ومسائل التدريب خطوة بخطوة.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

صيغ الحجوم

الصيغة 1: طريقة الأقراص (حول محور السينات)

إذا كانت \( f \) دالة بحيث \( f(x) \geq 0 \) لجميع \( x \) في الفترة \( [x_1 , x_2] \)، فإن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة ببيان \( f \) ومحور السينات (\( y = 0 \)) والمستقيمين الرأسيين \( x = x_1 \) و \( x = x_2 \) حول محور السينات يُعطى بـ:

\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 \, dx \]
حجم جسم دوراني ناتج عن دوران مثلث حول محور السينات
الشكل 1. جسم ناتج عن دوران مثلث حول محور السينات.

الصيغة 2: طريقة الحلقات (حول محور السينات)

إذا كانت \( f \) و \( h \) دالتين بحيث \( f(x) \geq h(x) \) لجميع \( x \) في الفترة \( [x_1 , x_2] \)، فإن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة ببياني \( f \) و \( h \) حول محور السينات يُعطى بـ:

\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)^2 - h(x)^2] \, dx \]
الحجم الناتج عن دوران منحنيين حول محور السينات
الشكل 2. جسم ناتج عن دوران منحنيين محصورين حول محور السينات.

الصيغة 3: طريقة الأقراص (حول محور الصادات)

إذا كانت \( z \) دالة لـ \( y \) بحيث \( x = z(y) \) و \( z(y) \geq 0 \) لجميع \( y \) في الفترة \( [y_1 , y_2] \)، فإن الحجم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بـ \( z \) ومحور الصادات (\( x = 0 \)) والمستقيمين الأفقين \( y = y_1 \) و \( y = y_2 \) حول محور الصادات هو:

\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)]^2 \, dy \]
الحجم الناتج عن دوران منحنى حول محور الصادات
الشكل 3. جسم ناتج عن دوران منحنى حول محور الصادات.

الصيغة 4: طريقة الحلقات (حول محور الصادات)

إذا كانت \( z \) و \( w \) دالتين لـ \( y \) بحيث \( z(y) \geq w(y) \) لجميع \( y \) في الفترة \( [y_1 , y_2] \)، فإن الحجم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بـ \( z \) و \( w \) حول محور الصادات يُعطى بـ:

\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)^2 - w(y)^2] \, dy \]
الحجم الناتج عن دوران منحنيين حول محور الصادات
الشكل 4. جسم ناتج عن دوران منحنيين محصورين حول محور الصادات.

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة ببيان \( y = x \)، \( y = 0 \)، \( x = 0 \)، و \( x = 2 \) حول محور السينات.

حجم جسم دوراني ناتج عن دوران y = x حول محور السينات
الشكل 5. دوران \( y = x \) حول محور السينات.
عرض الحل

الطريقة 1: الصيغة الهندسية

بما أن \( y = x \) يشكل مثلثاً، فإن دورانه يخلق مخروطاً دائرياً قائماً نصف قطره 2 وارتفاعه 2. باستخدام الصيغة الهندسية:

\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi (\text{radius})^2 (\text{height}) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2) = \frac{8\pi}{3} \]

الطريقة 2: التكامل المحدود (طريقة الأقراص)

لتكن \( f(x) = x \). باستخدام الصيغة 1، يُعطى الحجم بالتكامل المحدود من 0 إلى 2:

\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi x^2 \, dx = \left[ \pi \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8\pi}{3} \]

المثال 2

أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران نصف الدائرة \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) حول محور السينات، حيث \( r > 0 \).

حجم جسم دوراني ناتج عن دوران نصف دائرة حول محور السينات
الشكل 6. دوران نصف دائرة حول محور السينات.
عرض الحل

بيان \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) محصور من \( x = -r \) إلى \( x = r \). يُعطى الحجم بواسطة طريقة الأقراص (الصيغة 1):

\[ \text{Volume} = \int_{-r}^{r} \pi \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx \]

أوجد التكامل العكسي وعوض عند الحدود:

\[ = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \]
\[ = \pi \left[ \left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

وبهذا نشتق الصيغة المعروفة لحجم الكرة!

المثال 3

أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المظللة المحاطة بـ \( y = x \)، \( y = -x + 2 \)، ومحور السينات حول محور الصادات.

حجم جسم دوراني ناتج عن مثلث حول محور الصادات
الشكل 7. دوران منطقة مثلثية حول محور الصادات.
عرض الحل

بما أن الجسم يتولد بالدوران حول محور الصادات، يجب إعادة كتابة المعادلات كدوال لـ \( y \) (\( x = z(y) \)). حدود التكامل على طول محور الصادات هي من \( y = 0 \) إلى \( y = 1 \) (حيث يتقاطع المستقيمان).

المنحنى الأيمن هو \( y = -x + 2 \implies x = 2 - y \).

المنحنى الأيسر هو \( y = x \implies x = y \).

باستخدام طريقة الحلقات (الصيغة 4):

\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} \pi [ (2-y)^2 - y^2 ] \, dy \]

فك المربع وبسط دالة التكامل:

\[ = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y + y^2 - y^2 ] \, dy = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y ] \, dy \]

التكامل والتقييم:

\[ = \pi \left[ 4y - 2y^2 \right]_0^1 = \pi (4 - 2) = 2\pi \]

المثال 4

أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنيين \( y = 1 + x^2 \) و \( y = \sqrt{x} \)، حول محور السينات من \( x = 0 \) إلى \( x = 2 \).

حجم جسم دوراني ناتج عن دوران المنحنيين y = 1 + x^2 و y = جذر x حول محور السينات
الشكل 8. دوران المنطقة بين \( y = 1 + x^2 \) و \( y = \sqrt{x} \).
عرض الحل

نستخدم طريقة الحلقات على طول محور السينات (الصيغة 2). لتكن \( f(x) = 1 + x^2 \) (نصف القطر الخارجي) و \( h(x) = \sqrt{x} \) (نصف القطر الداخلي).

\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{2} \pi \left( (1+x^2)^2 - (\sqrt{x})^2 \right) \, dx \]

فك المربعات:

\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1 + 2x^2 + x^4 - x ) \, dx \]

التكامل باستخدام قاعدة القوة:

\[ = \pi \left[ x + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]

التقييم عند \( x = 2 \):

\[ = \pi \left( 2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5} - 2 \right) = \frac{176\pi}{15} \]

المثال 5

أوجد حجم الجسم الحلقي (التوروس) الناتج عندما يدور دائرة مركزها \( (0, R) \) ونصف قطرها \( r \) حول محور السينات.

حجم جسم حلقي ناتج عن دوران دائرة حول محور السينات
الشكل 9. الجسم الحلقي (التوروس) الناتج عن دوران دائرة حول محور السينات.
عرض الحل

معادلة الدائرة هي \( x^2 + (y - R)^2 = r^2 \).

حل المعادلة بالنسبة لـ \( y \) للحصول على النصفين العلوي والسفلي للدائرة:

  • نصف الدائرة العلوي: \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \)
  • نصف الدائرة السفلي: \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \)

بسبب التناظر بالنسبة لمور الصادات، يمكننا التكامل من \( x = 0 \) إلى \( x = r \)، ثم مضاعفة الإجابة لإيجاد الحجم الكلي. باستخدام طريقة الحلقات (الصيغة 2):

\[ \frac{1}{2} \text{Volume} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 \right] \, dx \]

عند فك وطرح المربعات، تختفي حدود \( R^2 \) و \( (r^2 - x^2) \)، ليبقى:

\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \]

تكامل \( \sqrt{r^2 - x^2} \) يمثل مساحة ربع الدائرة، والتي يمكننا حلها باستخدام قواعد التعويض المثلثي القياسية:

\[ = 4 R \pi \left( \frac{1}{2} \right) \left[ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_0^r \]
\[ = 2 R \pi \left( r^2 \arcsin(1) - 0 \right) = 2 R \pi \left( r^2 \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 R r^2 \]

بما أن هذا يمثل نصف الجسم الحلقي فقط، فإن الحجم الكلي هو ضعف النتيجة السابقة:

\[ \text{Volume} = 2 \pi^2 R r^2 \]

(ملاحظة: تم تصحيح خطأ مطبعي بسيط في الاشتقاق التفاضلي الأصلي لحد arcsin هنا لتحقيق الدقة الرياضية).

التمارين التدريبية

انقر على كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1

أوجد حجم الجسم الناتج عندما تدور المنطقة الواقعة بين بياني \( f(x) = x^2 + 2 \) و \( h(x) = x \) حول محور السينات على الفترة \( [0, 1] \).

عرض الحل

استخدم طريقة الحلقات حول محور السينات:

\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \right] \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 3x^2 + 4) \, dx \]

التكامل والتقييم عند الحدود:

\[ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = \frac{26\pi}{5} \]

التمرين 2

أوجد الحجم الناتج عندما تدور المنطقة المحدودة المنتهية بالمنحنيين \( y = x^3 \) و \( y = x^2 \) حول محور الصادات.

عرض الحل

أولاً، أوجد نقاط التقاطع بمساواة \( x^3 = x^2 \). يتقاطع المنحنيان عند \( x = 0 \) و \( x = 1 \)، واللذان يقابلان \( y = 0 \) و \( y = 1 \).

بما أننا ندور حول محور الصادات، نحتاج للتعبير عن \( x \) كدوال لـ \( y \). في الفترة \( y \in [0, 1] \)، \( y = x^3 \implies x = y^{1/3} \) هو نصف القطر الخارجي، و \( y = x^2 \implies x = y^{1/2} \) هو نصف القطر الداخلي.

استخدم طريقة الحلقات حول محور الصادات:

\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (y^{1/3})^2 - (y^{1/2})^2 \right] \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{2/3} - y) \, dy \]

التكامل والتقييم:

\[ = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{10} \]

المزيد من الروابط والمراجع