الحجم باستخدام طريقة القذائف الاسطوانية

الصيغ، أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، وتمارين تدريبية

أوجد حجم جسم دوراني ناتج عن دوران منطقة محاطة ببيان دالة حول أحد المحاور باستخدام التكاملات المحدودة وطريقة القذائف الاسطوانية حيث يكون التكامل عمودياً على محور الدوران. توجد التمارين مع إجاباتها في أسفل الصفحة.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

الصيغة – طريقة القذائف الاسطوانية

إذا كانت \( f \) دالة بحيث \( f(x) \geq 0 \) لجميع \( x \) في الفترة \( [x_1, x_2] \)، فإن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة ببيان \( f \) ومحور السينات (\( y = 0 \)) والمستقيمين الرأسيين \( x = x_1 \) و \( x = x_2 \) حول محور الصادات يُعطى بالتكامل:

\[ \Large \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \, dx \]
شرح طريقة القذائف
الشكل 1. حجم جسم دوراني باستخدام طريقة القذائف الاسطوانية

إذا كانت \( g \) دالة بحيث \( g(y) \geq 0 \) لجميع \( y \) في الفترة \( [y_1, y_2] \)، فإن حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة ببيان \( g \) ومحور الصادات (\( x = 0 \)) والمستقيمين الأفقين \( y = y_1 \) و \( y = y_2 \) حول محور السينات يُعطى بالتكامل:

\[ \Large \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y g(y) \, dy \]

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: حجم جسم ناتج عن دوران مثلث حول محور الصادات

حل المثال 1:

لاحظ أن هذه المسألة تم حلها في حجم جسم دوراني باستخدام طريقة الأقراص الحلقية. دعنا الآن نحلها باستخدام طريقة القذائف الاسطوانية.

حجم جسم دوراني ناتج عن مثلث حول محور الصادات
الشكل 2. حجم جسم دوراني ناتج عن مثلث حول محور الصادات

المنطقة المراد دورانها محاطة بـ \( x = 0 \) و \( y = 0 \) ومنحنيين \( y = x \) و \( y = -x + 2 \) بنقطة تقاطع عند \( (1, 1) \). لذلك نقسم التكامل إلى جزأين:

\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} 2\pi x(x) \, dx + \int_{1}^{2} 2\pi x(-x + 2) \, dx \]

التكامل:

\[ = 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 + 2\pi \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 \]

التقييم:

\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\left(-\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right)\right] \]
\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}\right] = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = 2\pi \]
المثال 2: حجم جسم ناتج عن منطقة منحنى تكعيبي في الربع الأول

حل المثال 2:

بيانات الدالتين \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) و \( y = -x + 1 \) موضحة أدناه.

حجم جسم دوراني ناتج عن منحنى تكعيبي حول محور الصادات
الشكل 3. حجم جسم دوراني ناتج عن منحنى تكعيبي حول محور الصادات

يُوجد تقاطع محور السينات لـ \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) بحل المعادلة:

\[ -x^3 + 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(-x + 2) + 1(-x + 2) = 0 \implies (-x + 2)(x^2 + 1) = 0 \]

وهذا يعطي \( x = 2 \). وتقاطع محور السينات لـ \( y = -x + 1 \) هو \( x = 1 \).

من \( x = 0 \) إلى \( x = 1 \)، المنطقة محاطة من الأعلى بـ \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) ومن الأسفل بـ \( h(x) = -x + 1 \). الحجم \( V_1 \) هو:

\[ V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2 - (-x + 1)) \, dx \]
\[ = 2\pi \int_{0}^{1} (-x^4 + 2x^3 + x) \, dx = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{8\pi}{5} \]

من \( x = 1 \) إلى \( x = 2 \)، المنطقة محاطة من الأعلى بـ \( f(x) \) ومن الأسفل بـ \( y = 0 \). الحجم \( V_2 \) هو:

\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) \, dx = 2\pi \int_{1}^{2} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2) \, dx \]
\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \dfrac{59\pi}{15} \]

الحجم الكلي \( V = V_1 + V_2 = \dfrac{8\pi}{5} + \dfrac{59\pi}{15} = \dfrac{83\pi}{15} \).

المثال 3: حجم ناتج عن منطقة منحنى جيب السينية حول محور الصادات

حل المثال 3:

حجم جسم دوراني ناتج عن منحنى جيب حول محور الصادات
الشكل 4. حجم جسم دوراني ناتج عن منحنى جيب حول محور الصادات

أوجد صيغة للحجم المحصور بواسطة \( y = 0 \)، \( x = 0 \)، و \( y = a + \sin(x) \) لـ \( 0 \leq x \leq 2\pi \) و \( a \geq 1 \) حول محور الصادات:

\[ V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x (a + \sin(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} ax \, dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) \, dx \]

تقييم التكامل الأول \( I_1 \):

\[ I_1 = 2\pi a \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \]

تقييم التكامل الثاني \( I_2 \) باستخدام التكامل بالتجزئة (\( u = x \)، \( dv = \sin(x) \, dx \)):

\[ I_2 = 2\pi \left[ -x \cos(x) \right]_0^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx = -4\pi^2 + 0 = -4\pi^2 \]

الحجم الكلي: \( V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a - 4\pi^2 \).

المثال 4: حجم ناتج عن قطع ناقص في الربع الأول حول محور السينات

حل المثال 4:

استخدم القذائف الاسطوانية لإيجاد صيغة لحجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحاطة بـ \( y = 0 \)، \( x = 0 \)، و \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) في الربع الأول حول محور السينات (\( a, b > 0 \)).

حجم جسم دوراني ناتج عن ربع قطع ناقص حول محور السينات
الشكل 5. حجم جسم دوراني ناتج عن ربع قطع ناقص حول محور السينات

الحل بدلالة \( x \): \( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \).

بما أن الدوران يتم حول محور السينات، فإن القذائف متوازية لمحور السينات:

\[ V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy \]

باستخدام التعويض \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \) والتقييم ينتج:

\[ V = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]

التمارين

احسب التكاملات التالية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1: أوجد حجم الجسم الناتج عندما يدور جزء من بيان الدالة \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) في الربع الأول حول محور الصادات.

الحل:

أوجد تقاطع محور السينات بحل المعادلة \( -x^4 + 3x^3 - x + 3 = 0 \implies x^3(3 - x) + 1(3 - x) = (x^3 + 1)(3 - x) = 0 \implies x = 3 \) (في الربع الأول).

باستخدام صيغة القذائف الاسطوانية من \( x = 0 \) إلى \( x = 3 \):

\[ V = \int_{0}^{3} 2\pi x (-x^4 + 3x^3 - x + 3) \, dx = 2\pi \int_{0}^{3} (-x^5 + 3x^4 - x^2 + 3x) \, dx \]

إجراء التكامل حدًا بحَد:

\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^6}{6} + \dfrac{3x^5}{5} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{288\pi}{5} \]

المزيد من الروابط والمراجع