نظريات المشتقة الأولى والثانية

النظرية 1 - النقطة الثابتة

إذا كانت للدالة \( f \) قيمة صغرى محلية أو عظمى محلية عند \( x = a \)، فإننا إما أن نجد \( f'(a) = 0 \) (نقطة ثابتة) أو أن \( f'(a) \) غير موجودة.

كمثال، يظهر أعلاه الرسم البياني للدالة \( f \) ومشتقاتها \( f' \). عند القيمة العظمى (\( x = 2 \)) والقيمة الصغرى (\( x = -2 \)) للدالة \( f \)، تكون \( f' = 0 \).

النظرية 2 - اختبار المشتقة الأولى

ليكن \( f \) دالة متصلة.

• 2.أ - إذا كان \( f'(a) = 0 \) أو كانت \( f'(x) \) غير موجودة عند \( x = a \) وإذا كان \( f'(x) < 0 \) على يسار \( a \) و \( f'(x) > 0 \) على يمين \( a \)، فإن للدالة \( f \) قيمة صغرى محلية عند \( x = a \).
• 2.ب - إذا كان \( f'(a) = 0 \) أو كانت \( f'(x) \) غير موجودة عند \( x = a \) وإذا كان \( f'(x) > 0 \) على يسار \( a \) و \( f'(x) < 0 \) على يمين \( a \)، فإن للدالة \( f \) قيمة عظمى محلية عند \( x = a \).

يمكن التحقق بوضوح من كل من 2.أ و 2.ب باستخدام الرسم البياني في الشكل 1 أعلاه.

• 2.ج - إذا كانت إشارة \( f'(a) \) ثابتة (نفس الإشارة) على يسار ويمين \( x = a \)، فإن الدالة \( f \) ليس لها قيمة صغرى أو عظمى.

يوضح الرسم البياني في الشكل 2 أدناه رسماً لدالة \( f \) ليس لها قيمة صغرى أو عظمى، ومشتقاتها الأولى لا تغير إشارتها.

النظرية 3 - اختبار المشتقة الأولى والثانية

افترض أن كلتا المشتقة الأولى \( f' \) والمنقبة الثانية \( f'' \) موجودتان عند \( x = a \) وأن \( f'(a) = 0 \) (نقطة ثابتة).

• 3.أ - إذا كان \( f''(a) > 0 \)، فإن للدالة \( f \) قيمة صغرى محلية عند \( x = a \).
• 3.ب - إذا كان \( f''(a) < 0 \)، فإن للدالة \( f \) قيمة عظمى محلية عند \( x = a \).
• 3.ج - إذا كان \( f''(a) = 0 \)، فلا يمكن الوصول إلى نتيجة؛ استئنافاً استخدم النظرية 2 أعلاه.

أدناه هو الرسم البياني للدالة \( f \)، ومشتقاتها الأولى \( f' \)، ومشتقاتها الثانية \( f'' \). يمكننا بسهولة التحقق من أن:

1. عند النقطة (\( x = -2 \)) حيث \( f'(-2) = 0 \) و \( f''(-2) < 0 \)، للدالة \( f \) قيمة عظمى محلية.
2. عند النقطة (\( x = 2 \)) حيث \( f'(2) = 0 \) و \( f''(2) > 0 \)، للدالة \( f \) قيمة صغرى محلية.