How do you find the maximum area of a rectangle inscribed in a right triangle?

To maximize the area of a rectangle inscribed in a right triangle, use similar triangles or area partitioning to express the rectangle's dimensions as a function of a single variable. Then, find the first derivative of the area function, set it to zero to find critical points, and apply the first derivative test to confirm the maximum.

أكبر مساحة لمستطيل داخل مثلث قائم الزاوية – مسألة تحسين في التفاضل والتكامل مع الحل

قم بتعظيم مساحة مستطيل محصور داخل مثلث قائم الزاوية باستخدام المشتقة الأولى. يتم تقديم المسألة وحلها التفصيلي أدناه.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

مسألة مع الحل

BDEF هو مستطيل محصور في مثلث قائم الزاوية ABC طولا ضلعيه هما 40 و 30. أوجد أبعاد المستطيل BDEF بحيث تكون مساحته أكبر ما يمكن.

Rectangle inscribed in right triangle problem — الشكل 1. مستطيل محصور في مثلث قائم الزاوية

عرض حل المسألة

ليكن طول المستطيل BF مساوياً لـ \( y \) وعرضه BD مساوياً لـ \( x \). تُعطى مساحة المثلث القائم الزاوية كالتالي:

\[ \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \]

يمكن أيضاً حساب مساحة المثلث القائم الزاوية كمجموع مساحتي المثلث BEC والمثلث BEA (المقسّمين بواسطة المستطيل). إذن:

\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]

لتكن \( A \) مساحة المستطيل. إذن:

\[ A = y \times x \]

نستخدم الآن المعادلة الأولى للتعبير عن \( y \) بدلالة \( x \):

\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]

نعوض بـ \( y \) في \( A \) للحصول على المساحة كدالة في \( x \):

\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]

يُظهر فك الأقواس لـ \( A(x) \) أن \( A(x) \) دالة تربيعية بمعامل رئيسي سالب، وبالتالي لها قيمة عظمى:

\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]

الرسم البياني لـ \( A(x) \) كدالة في \( x \) موضح أدناه. لـ \( A(x) \) قيمة عظمى عند \( x = 20 \)، كما تم التحقق من ذلك تحليلياً أدناه:

Rectangle inscribed in right triangle solution graph — الشكل 2. رسم بياني لدالة المساحة \( A(x) \)

نحسب الآن المشتقة الأولى لـ \( A(x) \):

\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]

نضع \( A'(x) = 0 \) ونحل من أجل \( x \):

\[ -\frac{3}{2}x + 30 = 0 \implies x = 20 \]

من السهل التحقق من أن \( A'(x) \) موجبة عندما \( x < 20 \) وسالبة عندما \( x > 20 \)، مما يؤكد أن لـ \( A(x) \) قيمة عظمى عند \( x = 20 \).

Table of sign of the derivative and variations of the function — الشكل 3. جدول إشارات المشتقة الأولى \( A'(x) \)

المساحة القصوى تُعطى بـ \( A(20) \):

\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]

نجد الآن \( y \) باستخدام صيغة المساحة:

\[ A = 300 = x \times y \implies y = \frac{300}{20} = 15 \]

الخلاصة: أبعاد المستطيل التي تجعل مساحته أكبر ما يمكن هي \( x = 20 \) و \( y = 15 \).

مسألة مع الحل

المزيد من المراجع والروابط