استخدام التعريف لإيجاد المشتقة

طريقة المبادئ الأولى، أمثلة محلولة خطوة بخطوة، وآلات حاسبة

تعريف المشتقة الأولى

استخدم تعريف المشتقة لتفاضل الدوال. يُفهم هذا الدرس بشكل أفضل إذا تم استخدامه مع حاصل قسمة الفرق.

تُعرف مشتقة \( f' \) للدالة \( f \) كالتالي:

تعريف الغاية للمشتقة:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

عندما تكون هذه الغاية موجودة. ومن ثم، لإيجاد المشتقة من تعريفها، نحتاج إلى إيجاد غاية حاصل قسمة الفرق عندما يقترب \( h \) من الصفر.

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

استخدم تعريف المشتقة لإيجاد مشتقة الدالة \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = mx + b \]

حيث \( m \) و \( b \) ثوابت.

الحل للمثال 1

نحتاج أولاً إلى حساب حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]

التبسيط:

\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]

تُعطى المشتقة \( f' \) بواسطة غاية \( m \) (وهو ثابت) عندما \( h \to 0 \). ومن ثم:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]

مشتقة الدالة الخطية \( f(x) = mx + b \) تساوي ميل \( m \) لبيانها، وهو عبارة عن خط مستقيم.

المثال 2

استخدم التعريف لإيجاد مشتقة:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
الحل للمثال 2

نحسب أولاً حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]

فك التعابير في البسط وتجميع الحدود المتشابهة:

\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]

التبسيط:

\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]

تُعطى مشتقة \( f(x) = ax^2 + bx + c \) بواسطة غاية حاصل قسمة الفرق. ومن ثم:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]

المثال 3

أوجد المشتقة، باستخدام التعريف، للدالة \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \sin x \]
الحل للمثال 3

نحسب أولاً حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]

استخدم صيغة المثلثات لتحويل الفرق \( \sin(x + h) - \sin x \) في البسط إلى حاصل ضرب:

\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]

أعد كتابة حاصل قسمة الفرق أعلاه على النحو التالي:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

تُعطى المشتقة بواسطة غاية حاصل قسمة الفرق. ومن ثم:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

استخدم نظريات غاية حاصل ضرب دالتين لكتابة:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

الغايا في حاصل الضرب أعلاه تُعطى بواسطة:

\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]

و

\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]

إذن مشتقة \( f(x) = \sin x \) هي:

\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]

المثال 4

استخدم التعريف لتفاضل:

\[ f(x) = \sqrt{x} \]
الحل للمثال 4

حاصل قسمة الفرق يُعطى بـ:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]

اضرب البسط والمقام في \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \)، وفك، وتجميع الحدود المتشابهة والبسط:

\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]

تُعطى مشتقة \( f(x) = \sqrt{x} \) بواسطة غاية حاصل قسمة الفرق. ومن ثم:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

المثال 5

استخدم التعريف لتفاضل:

\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
الحل للمثال 5

حاصل قسمة الفرق يُعطى بـ:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]

اجعل التعبيرين النسبيين في البسط بنفس المقام وأعد الكتابة:

\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]

تُعطى مشتقة \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) بواسطة غاية حاصل قسمة الفرق. ومن ثم:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]

المزيد من الروابط والمراجع