المشتقة الأولى والثانية ورسوم الدوال البيانية

الخطوة 1: إيجاد المشتقة الأولى، النقاط الثابتة، وإشارة \( f'(x) \) لتحديد فترات التزايد والتناقص.

النقاط الثابتة هي حلول المعادلة \( f'(x) = 2x = 0 \)، مما يعطي \( x = 0 \).

\( f'(x) \) سالبة على الفترة \( (-\infty, 0) \)، لذا فإن الدالة \( f \) متناقصة هناك (النظرية 4.ب). \( f'(x) \) موجبة على الفترة \( (0, +\infty) \)، لذا فإن الدالة \( f \) متزايدة هناك (النظرية 4.أ). وحسب النظرية 2، يوجد للدالة \( f \) قيمة صغرى عند \( x = 0 \).

الخطوة 2: إيجاد المشتقة الثانية، إشارتها، ومعلومات التقعر.

هذا يؤكد وجود قيمة صغرى عند \( x = 0 \) بما أن \( f''(0) = 2 > 0 \). المنحنى مقعر لأعلى على الفترة \( (-\infty, +\infty) \) (النظرية 5.أ).

الخطوة 3: إيجاد نقاط التقاطع والقيم القصوى.

تقاطع المحور \( y \): \( f(0) = 0 \). تقاطع المحور \( x \): \( x^2 = 0 \implies x = 0 \).

نقطة الصغرى تقع عند \( (0, 0) \).

الخطوة 4: تخطيط الرسم البياني.

عندما تقترب \( x \) من \( \pm\infty \)، فإن \( f(x) = x^2 \to +\infty \).

الخطوة 1: المشتقة الأولى والنقاط الثابتة.

حل المعادلة \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \) ينتج عنه النقاط الحرجة \( x = 2 \) و \( x = \dfrac{2}{3} \).

الخطوة 2: المشتقة الثانية ونقاط الانقلاب.

حل المعادلة \( 6x - 8 = 0 \) يותي \( x = \dfrac{4}{3} \)، حيث يتغير التقعر (نقطة انقلاب).

الخطوة 3: نقاط التقاطع والسلوك عند الأطراف.

تقاطع المحور \( y \): \( f(0) = 0 \).

تقاطع المحور \( x \): تحليل العوامل \( x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 = 0 \)، يعطي \( x = 0 \) و \( x = 2 \) (بمضاعفة 2).

عندما تقترب \( x \to +\infty \)، فإن \( f(x) \to +\infty \). وعندما تقترب \( x \to -\infty \)، فإن \( f(x) \to -\infty \).

الخطوة 4: جدول الإشارات والرسم البياني.