أكبر مساحة لمستطيل
مسألة تحسين مع الحل

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

قم بتعظيم مساحة مستطيل محصور داخل مثلث باستخدام المشتقة الأولى. يتم عرض مسألة التحسين هذه وحلها التفصيلي أدناه.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

OAB هو مثلث ذو رؤوس معطاة. أوجد أبعاد المستطيل ذي المساحة الأكبر المحصور داخل المثلث بحيث يقع أحد أضلاعه على الضلع OA للمثلث.

Triangle for the problem
الشكل 1. المثلث OAB
عرض حل المسألة

في الشكل أدناه، مستطيل بعرض \( W \) وطول \( L \) محصور داخل المثلث، وتقع رؤوسه العليا على أضلاع المثلث. نجد أولاً صيغة لمساحة المستطيل بدلالة \( x \) فقط.

Triangle and rectangle for the solution
الشكل 2. مستطيل محصور داخل المثلث

ميل الخط \( m_1 \) المار عبر OB يُعطى كالتالي:

\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]

ليكن \( (x, y) \) إحداثيات الرأس الأيسر العلوي للمستطيل. إذن:

\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]

لذلك، فإن عرض المستطيل \( W \) يُعطى كالتالي:

\[ W = y = 2x \]

ميل الخط \( m_2 \) المار عبر AB (من (6, 12) إلى (10, 0)) يُعطى كالتالي:

\[ m_2 = \frac{0 - 12}{10 - 6} = \frac{-12}{4} = -3 \]

إذا كان للرأس الأيمن العلوي للمستطيل الإحداثيات \( (x + L, y) \)، فإنه يقع على الخط AB المرور بالنقطة (10, 0):

\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{(x + L) - 10} \]

بالحل من أجل \( y \):

\[ y = -3(x + L - 10) = -3(x + L) + 30 \]

بما أن \( y = W = 2x \)، فإننا نساوي التعبيرين الخاصين بـ \( y \):

\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]

بالحل من أجل \( L \):

\[ 2x = -3x - 3L + 30 \implies 3L = 30 - 5x \implies L = 10 - \frac{5}{3}x \]

مساحة المستطيل \( A \) تُعطى كالتالي:

\[ A = W \cdot L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3}x^2 + 20x \]

الدالة \( A \) هي دالة تربيعية في \( x \) من الشكل \( ax^2 + bx + c \). وبما أن المعامل الرئيسي \( a = -\dfrac{10}{3} \) سالباً، فلها قيمة عظمى عند النقطة الحرجة لمشتقاتها الأولى \( A'(x) \).

حساب المشتقة الأولى:

\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]

جعل \( A'(x) = 0 \) لإيجاد النقاط الحرجة:

\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \implies x = 3 \]

إذن، مساحة المستطيل \( A \) لها قيمة عظمى عند \( x = 3 \)، مع الأبعاد:

  • \( W = 2x = 2(3) = 6 \)
  • \( L = 10 - \frac{5}{3}(3) = 10 - 5 = 5 \)

المساحة القصوى هي \( A = 6 \times 5 = 30 \).

المزيد من المراجع