أكبر مساحة لمثلث – مسألة تحسين مع الحل

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

تُستخدم المشتقة الأولى لتعظيم مساحة مثلث محصور داخل دائرة. يتم تقديم مسألة تحسين مع حل تفصيلي أدناه.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

في الصورة أدناه، المثلث ABC محصور داخل دائرة مركزها O ونصف قطرها \( r \). لنصف القطر الثابت \( r \) للدائرة، تنزلق النقطة B على طول الدائرة بحيث تتغير مساحة ABC. أوجد طول الضلعين AB و CB لكي تكون مساحة المثلث ABC أكبر ما يمكن.

Triangle for problem
الشكل 1. مثلث محصور في دائرة
عرض حل المسألة

بما أن مركز الدائرة O يقع على ضلع المثلث AC، فإن AC هو قطر الدائرة والمثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية (نظرية طاليس). زاويته القائمة عند B ووتره AC له طول يساوي \( 2r \) (انظر الشكل أدناه).

Triangle solution diagram
الشكل 2. مثلث قائم الزاوية قطره وتر

مساحة المثلث \( S \) تُعطى كالتالي:

\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]

باستخدام الزاوية \( t \)، يمكن التعبير عن \( AB \) و \( CB \) كالتالي:

\[ AB = AC \cos t \quad \text{and} \quad CB = AC \sin t \]

نعوض بـ \( AB \) و \( CB \) في صيغة المساحة:

\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]

باستخدام المتطابقة المثلثية \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \)، نعبر عن المساحة \( S \) كالتالي:

\[ S = \frac{1}{4} AC^2 \sin(2t) \]

بما أن نصف القطر \( r \) ثابت، فإن طول القطر \( AC = 2r \) ثابت أيضاً. ومن ثم، تعتمد المساحة على الزاوية \( t \) فقط بينما تنزلق النقطة B على طول الدائرة. لإيجاد \( t \) بحيث تكون المساحة \( S \) أكبر ما يمكن، نحسب المشتقة الأولى بالنسبة إلى \( t \):

\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) \]

جعل \( \frac{dS}{dt} \) مساوياً لصفر لإيجاد النقاط الثابتة:

\[ \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) = 0 \implies \cos(2t) = 0 \]

بينما تنزلق النقطة B على طول الدائرة، تتغير الزاوية \( t \) من \( 0 \) إلى \( 90^\circ \). الحل للمعادلة \( \cos(2t) = 0 \) في الفترة \( (0^\circ, 90^\circ) \) هو:

\[ 2t = 90^\circ \implies t = 45^\circ \]

بينما تتغير \( t \) من \( 0^\circ \) إلى \( 45^\circ \)، تتغير \( 2t \) من \( 0^\circ \) إلى \( 90^\circ \) وتكون \( \frac{dS}{dt} \) موجبة. وعندما تتغير \( t \) من \( 45^\circ \) إلى \( 90^\circ \)، تتغير \( 2t \) من \( 90^\circ \) إلى \( 180^\circ \) وتكون \( \frac{dS}{dt} \) سالبة. لذلك، فإن القيمة \( t = 45^\circ \) تعطي القيمة العظمى للمساحة \( S \).

عندما \( t = 45^\circ \)، فإن أطوال الضلعين AB و CB هي:

\[ AB = AC \cos(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \] \[ CB = AC \sin(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \]

الخلاصة: المساحة تكون أكبر ما يمكن عندما \( t = 45^\circ \)، مما يعني أن المثلث القائم الزاوية المحصور هو مثلث متطابق الساقين وقائم الزاوية بأطوال أضلاع \( AB = CB = r\sqrt{2} \).

المراجع والروابط