أكبر نصف قطر لدائرة
مسألة تحسين مع الحل

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

استخدم المشتقة لإيجاد قياس زاوية في مثلث قائم الزاوية بحيث يكون نصف قطر الدائرة المحصورة أكبر ما يمكن، وذلك لوتر ثابت.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

ABC مثلث قائم الزاوية و \( r \) هو نصف قطر الدائرة المحصورة.
أ) اعبر عن \( r \) بدلالة الزاوية \( x \) وطول الوتر \( h \).
ب) افترض أن \( h \) ثابت و \( x \) متغير؛ أوجد \( x \) التي يكون عندها \( r \) أكبر ما يمكن.

Circle inscribed in triangle for the problem
الشكل 1. دائرة محصورة في مثلث قائم الزاوية ABC
عرض حل المسألة

أ) لتكن M و N و P نقاط التماس للدائرة مع أضلاع المثلث. الأطوال OM و ON و OP تعامد الأضلاع CB و CA و AB على التوالي.

Circle inscribed in triangle for solution
الشكل 2. نقاط التماس وتفاصيل الدائرة المحصورة

المثلثان COM و CON مثلثان قائما الزاوية ولهم ضلعان متطابقان (CO ونصف القطر OM = ON = r)؛ إذن المثلثان متطابقان. نرمز لقياس الزاوية MCN بـ \( x \) ونكتب:

\[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{r}{CM} \]

المثلثان BOM و BOP مثلثان قائما الزاوية ولهم ضلعان متطابقان (BO ونصف القطر OM = OP = r)؛ إذن المثلثان متطابقان. نرمز لقياس الزاوية MBP بـ \( y \) ونكتب:

\[ \tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]

لاحظ أن \( y + x = 90^\circ \)، مما يعطي \( \dfrac{y}{2} = 45^\circ - \dfrac{x}{2} \).

نعوض بـ \( \dfrac{y}{2} \) في معادلة \( BM \):

\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{r}{BM} \]

الحل من أجل \( CM \) و \( BM \):

\[ CM = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}, \quad BM = \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} \]

باستخدام حقيقة أن \( h = CM + BM \):

\[ h = \frac{r}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)} + \frac{r}{\tan\left(45^\circ - \dfrac{x}{2}\right)} = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} \right] \]

باستخدام المتطابقة المثلثية لفرق الظل:

\[ \tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan(45^\circ)\tan\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]

التعويض مرة أخرى في صيغة \( h \):

\[ h = r \left[ \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \right] \]

مهلاً، لنفحص الحد المقلوب:

\[ \frac{1}{\tan\left(45^\circ - \frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]

باستخدام \( \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \)، نبسط إلى:

\[ h = r \left[ \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} + \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right] = r \left[ \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)} \right] \]

الحل من أجل \( r \):

\[ r = h \sin\left(\frac{x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) = h \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) \]

باستخدام متطابقات نصف الزاوية والضرب (\( \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sin x \) و \( \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2} \)):

\[ r = \frac{h}{2} (\sin x + \cos x - 1) \]

ب) افترض أن \( h \) ثابت. أوجد المشتقة الأولى لـ \( r \) بالنسبة إلى \( x \):

\[ \frac{dr}{dx} = \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) \]

جعل \( \dfrac{dr}{dx} = 0 \) لإيجاد النقاط الثابتة:

\[ \frac{h}{2} (\cos x - \sin x) = 0 \implies \cos x = \sin x \]

بما أن \( x \) زاوية حادة في المثلث القائم الزاوية، فإن حل المعادلة \( \cos x = \sin x \) يعطي:

\[ x = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \]
Graph of derivative
الشكل 3. رسم المشتقة \( \dfrac{dr}{dx} \)

بما أن \( \dfrac{dr}{dx} > 0 \) عندما \( x < \dfrac{\pi}{4} \) و \( \dfrac{dr}{dx} < 0 \) عندما \( x > \dfrac{\pi}{4} \)، فإن لـ \( r \) قيمة عظمى مطلقة عند \( x = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ \). في هذه الحالة، المثلث ABC متطابق الساقين.

المزيد من المراجع والروابط