تعظيم القدرة الموصولة إلى الدوائر الكهربائية
مسألة تحسين

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

تُستخدم المشتقة الأولى لتعظيم (تحسين) القدرة الموصولة إلى الحمل في الدوائر الإلكترونية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

في الدائرة الإلكترونية الموضحة أدناه، الجهد \( E \) (بالفولت) والمقاومة الداخلية \( r \) (بالأوم) ثابتان. \( R \) هي مقاومة الحمل. في مثل هذه الدائرة، يُعطى التيار الكهربائي \( i \) كالتالي:

\[ i = \dfrac{E}{r + R} \]

وتُعطى القدرة \( P \) الموصولة إلى الحمل \( R \) كالتالي:

\[ P = R i^2 \]

بمعلومية أن \( r \) و \( R \) موجبتان، حدد قيمة \( R \) بحيث تكون القدرة \( P \) الموصولة إلى \( R \) أكبر ما يمكن.

Maximize power circuit diagram
الشكل 1. دائرة إلكترونية بمقاومة داخلية \( r \) ومقاومة حمل \( R \)
عرض حل المسألة

نعبر أولاً عن القدرة \( P \) بدلالة \( E \)، و \( r \)، والمتغير \( R \) عن طريق تعويض \( i = \dfrac{E}{r + R} \) في المعادلة \( P = R i^2 \):

\[ P(R) = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]

نقوم الآن بشتقاق \( P \) بالنسبة للمتغير \( R \) باستخدام قاعدة القسمة:

\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 \left[(r + R)^2 - R \cdot 2(r + R)\right]}{(r + R)^4} = \frac{E^2 \left[(r + R) - 2R\right]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]

لمعرفة ما إذا كان لـ \( P \) قيمة عظمى محلية، نجد النقاط الحرجة بجعل \( \dfrac{dP}{dR} = 0 \) وحل المعادلة من أجل \( R \):

\[ \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} = 0 \implies R = r \]

بما أن \( r \) و \( R \) قيمتان موجبتان (مقاومتان)، فإن لـ \( \dfrac{dP}{dR} \) نقطة حرجة واحدة فقط عند \( R = r \). علاوة على ذلك، عندما تكون \( R < r \)، تكون \( \dfrac{dP}{dR} \) موجبة وتزداد \( P \)؛ وعندما تكون \( R > r \)، تكون \( \dfrac{dP}{dR} \) سالبة وتقل \( P \). ومن ثم، فإن لـ \( P \) قيمة عظمى مطلقة عند \( R = r \).

القدرة القصوى تُحسب بتعويض \( R = r \) في المعادلة \( P(R) \):

\[ P(r) = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{r E^2}{(2r)^2} = \frac{r E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{4r} \]

لذلك، لتحقيق أقصى نقل للقدرة من الدائرة الإلكترونية إلى الحمل \( R \)، يجب أن تساوى مقاومة الحمل \( R \) المقاومة الداخلية \( r \).

كمثال، يظهر أدناه رسم الدالة \( P(R) \) عندما \( E = 5 \) فولت و \( r = 100 \) أوم. يوضح بوضوح أن القدرة \( P \) تصل إلى ذجوتها عندما تكون \( R = 100 \) أوم (\( R = r \)).

Plot of power P(R)
الشكل 2. رسم القدرة \( P(R) \) يوضح ذروة القدرة عند \( R = r \)

دعنا نفحص \( P(R) \) أكثر: إذا اقتربت \( R \) من الصفر، تقترب \( P(R) \) من الصفر. وإذا زادت \( R \) بلا حدود، تقترب \( P(R) \) من الصفر نظراً لأن المحور الأفقي يمثل محاذاة أفقية (خط تقارب أفقي) لرسم الدالة \( P(R) \). وبالتالي، تبلغ \( P(R) \) قيمتها العظمى عند قيمة محدودة \( R = r \).

المراجع والروابط