تعظيم حجم صندوق
مسألة تحسين

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

كيفية تعظيم حجم صندوق باستخدام المشتقة الأولى للحجم. مسألة تحسين الحجم مع الحل.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

صفيحة معدنية أبعادها 12 بوصة في 10 بوصات ستُستخدم لصنع صندوق مفتوح. تُمقطع مربعات متساوية الأضلاع طول ضلعها \( x \) من كل ركن، ثم تُثنى الجوانب لصنع الصندوق. أوجد قيمة \( x \) التي تجعل الحجم أكبر ما يمكن.

Maximize volume problem diagram
الشكل 1. صفيحة معدنية مع قطع مربعات الأركان
عرض حل المسألة

نستخدم أولاً صيغة حجم الصندوق المستطيل:

\[ V = L \times W \times H \]

الصندوق المراد صنعه له الأبعاد التالية:

  • \( L = 12 - 2x \)
  • \( W = 10 - 2x \)
  • \( H = x \)

نكتب الآن حجم الصندوق كدالة في \( x \):

\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]

نحدد الآن مجال الدالة \( V(x) \). يجب أن تكون جميع أبعاد الصندوق غير سالبة:

\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]

حل نظام المتباينات هذا يعطي مجال \( V(x) \):

\[ 0 \le x \le 5 \]

نوجد الآن المشتقة الأولى لـ \( V(x) \):

\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]

لإيجاد النقاط الحرجة، نضع \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \) بحل المعادلة التربيعية \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \):

\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11.1355}{6} \]

هذا ينتج عنه حلان:

\[ x_1 \approx \frac{33.1355}{6} \approx 5.52, \quad x_2 \approx \frac{10.8645}{6} \approx 1.81 \]

القيمة \( x \approx 5.52 \) تقع خارج المجال \( [0, 5] \) وبالتالي تُرفض. إذن، النقطة الحرجة الوحيدة داخل المجال هي \( x \approx 1.81 \).

نحسب الآن قيمة \( V(x) \) عند النقطة الحرجة وأطراف المجال:

  • \( V(0) = 0 \)
  • \( V(5) = 0 \)
  • \( V(1.81) \approx 4(1.81)(1.81^2 - 11(1.81) + 30) \approx 96.77 \) بوصة مكعبة

لذلك، تبلغ الدالة \( V(x) \) قيمتها العظمى عندما تكون \( x \approx 1.81 \) بوصة. يظهر أدناه الرسم البياني للدالة \( V(x) \)، مما يؤكد القيمة العظمى بالقرب من \( x = 1.81 \).

Graph of V(x)
الشكل 2. رسم دالة الحجم \( V(x) \)

المراجع والروابط