استخدام المشتقة الأولى لتصغير مساحة هرم
مسألة تحسين

درس تحسين في التفاضل والتكامل وحل خطوة بخطوة

تُستخدم المشتقة الأولى لتصغير مساحة سطح هرم ذو قاعدة مربعة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

يظهر أدناه هرم بقاعدة مربعة طول ضلعها \( x \) وارتفاعه \( h \). أوجد قيمة \( x \) بحيث يكون حجم الهرم \( 1000 \; \text{cm}^3 \) ومساحة سطحه أصغر ما يمكن.

Pyramid problem diagram
الشكل 1. هرم بقاعدة مربعة وارتفاع \( h \)
عرض حل المسألة

تم حل هذه المسألة بيانياً. هنا نقوم بحلها بشكل أكثر دقة باستخدام المشتقة الأولى.

نستخدم أولاً صيغة حجم الهرم لكتابة المعادلة:

\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000 \]

يتكون الهرم من 4 أوجه مثلثية وقاعدة مربعة واحدة. مساحة وجه مثلث واحد تُعطى كالتالي:

\[ s = \frac{1}{2} H x \]

الارتفاع الجانبي \( H \) يُعطى بنظرية فيثاغورس:

\[ H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \]

مساحة السطح الكلية \( S \) للهرم هي مجموع مساحات المثلثات الأربعة ومساحة القاعدة \( x^2 \):

\[ S = 4\left(\frac{1}{2} H x\right) + x^2 = 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \]

نحل معادلة الحجم \( \dfrac{1}{3} h x^2 = 1000 \) من أجل \( h \):

\[ h = \frac{3000}{x^2} \]

نعوض بـ \( h \) في صيغة مساحة السطح لنعبر عن \( S \) كدالة في \( x \) وحدها:

\[ S(x) = 2x \sqrt{\left(\frac{3000}{x^2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}} + x^2 = 2x \sqrt{\frac{9 \times 10^6}{x^4} + \frac{x^2}{4}} + x^2 \] \[ S(x) = 2x \sqrt{\frac{36 \times 10^6 + x^6}{4x^4}} + x^2 = 2x \cdot \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{2x^2} + x^2 \] \[ S(x) = \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2 \]

ليكن الثابت \( k = 36 \times 10^6 \) ونشتق \( S \) بالنسبة إلى \( x \):

\[ \frac{dS}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}(k + x^6)^{-1/2}(6x^5) - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x \] \[ \frac{dS}{dx} = \frac{\frac{3x^6}{\sqrt{k + x^6}} - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x = \frac{3x^6 - (k + x^6)}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x \]
Graph of derivative dS/dx
الشكل 2. رسم المشتقة \( \dfrac{dS}{dx} \)

عندما تكون \( x > 0 \)، فلـ \( \dfrac{dS}{dx} \) صفر واحد فقط، حيث تكون سالبة إلى اليسار وموجبة إلى اليمين. وهذا يؤكد أن لـ \( S \) قيمة صغرى تُحدد بجعل \( \dfrac{dS}{dx} = 0 \):

\[ \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = 0 \implies \frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x \sqrt{k + x^6} \]

ليكن \( u = x^3 \) (إذن \( u^2 = x^6 \)) ونعوض:

\[ 2x^6 - k = -2x^3 \sqrt{k + x^6} \implies 2u^2 - k = -2u \sqrt{k + u^2} \]

نربع الطرفين:

\[ (2u^2 - k)^2 = 4u^2(k + u^2) \implies 4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 + 4u^4 \] \[ k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 \implies k^2 = 8ku^2 \implies u^2 = \frac{k}{8} \]

بما أن \( u > 0 \):

\[ u = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x^3 = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x = \left(\frac{k}{8}\right)^{1/6} \]

نعوض بـ \( k = 36 \times 10^6 \):

\[ x = \left(\frac{36 \times 10^6}{8}\right)^{1/6} = (4,500,000)^{1/6} \approx 16.19 \; \text{cm} \]

(ملاحظة: مُدورة إلى رقم عشري واحد لتصبح \( 16.2 \; \text{cm} \).)

Graph of S and its derivative dS/dx
الشكل 3. رسوم مساحة السطح \( S(x) \) ومشتقاتها \( \dfrac{dS}{dx} \)

المراجع والروابط