تصغير مسافة المشي
مسألة تحسين

درس تحسين في التفاضل والتكامل مع طريقتين للحل

تُستخدم المشتقة الأولى لتصغير (تحسين) المسافة المقطوعة بين نقطتين.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

يُظهر الرسم البياني أدناه المسار الذي يتبعه ويلسون كل صباح لجلب الماء من النهر إلى مزرعته. ساعد ويلسون في تصغير المسافة الإجمالية المقطوعة من منزله إلى المزرعة.

Minimize distance travelled problem
الشكل 1. مسار المشي من المنزل إلى النهر والمزرعة
عرض حل المسألة

طريقتان مقترحتان لحل هذه المسألة أدناه.

الطريقة 1: التفاضل والتكامل (المشتقة الأولى)

في الرسم البياني أدناه، نجد المسافتين \( d \) و \( D \)، ونجمعهما، ثم نُصغّر المسافة الإجمالية.

Minimize distance travelled solution
الشكل 2. التخطيط الهندسي للمسافتين \( d \) و \( D \)
\[ d = \sqrt{x^2 + 5^2} \] \[ D = \sqrt{(20 - x)^2 + 10^2} \]

المسافة الإجمالية \( T \) تُعطى كالتالي:

\[ T = d + D = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(20 - x)^2 + 100} \]

نوجد الآن المشتقة الأولى \( \dfrac{dT}{dx} \) للدالة \( T \) بالنسبة إلى \( x \)، ونتحقق من أن لـ \( T \) قيمة صغرى، ونعثر على قيمة \( x \) التي تصغر \( T \):

\[ \frac{dT}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]

رسم \( \dfrac{dT}{dx} \) موضح أدناه. عند حوالي \( x = 6.67 \)، تصبح المشتقة الأولى مساوية للصفر؛ وتحت هذه القيمة تكون سالبة، وفوقها تكون موجبة. ومن ثم، فإن لـ \( T \) قيمة صغرى عند نحو \( x = 6.67 \).

First derivative of distance T
الشكل 3. رسم المشتقة الأولى \( \dfrac{dT}{dx} \)

جعل \( \dfrac{dT}{dx} = 0 \) لإيجاد القيمة الحرجة:

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]

الضرب التبادلي:

\[ x \sqrt{(20 - x)^2 + 100} = (20 - x) \sqrt{x^2 + 25} \]

تربيع الطرفين:

\[ x^2 \left((20 - x)^2 + 100\right) = (20 - x)^2 (x^2 + 25) \] \[ x^2(400 - 40x + x^2 + 100) = (400 - 40x + x^2)(x^2 + 25) \] \[ x^2(x^2 - 40x + 500) = (x^2 - 40x + 400)(x^2 + 25) \] \[ x^4 - 40x^3 + 500x^2 = x^4 + 25x^2 - 40x^3 - 1000x + 400x^2 + 10000 \] \[ 500x^2 = 425x^2 - 1000x + 10000 \implies 75x^2 + 1000x - 10000 = 0 \]

قسمة المعادلة التربيعية على 25:

\[ 3x^2 + 40x - 400 = 0 \]

الحل من أجل \( x \) باستخدام الصيغة التربيعية واختيار القيمة الموجبة:

\[ x = \frac{-40 + \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} = \frac{-40 + \sqrt{1600 + 4800}}{6} = \frac{-40 + \sqrt{6400}}{6} = \frac{-40 + 80}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]

الطريقة 2: الإسقاط الهندسي

نبني "منزلاً افتراضياً" (انعكاساً) H على الجانب الآخر من النهر. لكي تكون المسافة الإجمالية \( d + D \) أصغر ما يمكن، يجب أن تكون النقاط H و O و F على استقامة واحدة نظراً لأن أقصر مسافة بين نقطتين هي خط مستقيم. لكي تكون هذه النقاط على استقامة واحدة، يجب أن تكون الزاويتان HOH' و FOF' متساويتين في القياس، مما يعني أن ظلهما متساوٍ.

Projection of the house
الشكل 4. طريقة الإسقاط الهندسي

حساب الظل لكلتا الزاويتين بدلالة \( x \):

\[ \tan(HOH') = \frac{5}{x} \] \[ \tan(FOF') = \frac{10}{20 - x} \]

مساواة الظلين:

\[ \frac{5}{x} = \frac{10}{20 - x} \]

الحل من أجل \( x \):

\[ 5(20 - x) = 10x \implies 100 - 5x = 10x \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]

المراجع والروابط