تُعطى مسألة لتعظيم (تحسين) مساحة مستطيل بمحيط ثابت. يتم تطوير طريقته التحليلية استناداً إلى مشتقات الدالة ونظريات التفاضل والتكامل من أجل إيجاد حل تحليلي للمسألة.
فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.
المسألة
قررت إنشاء مستطيل بمحيط \( 400 \; \text{mm} \) وأكبر مساحة ممكنة. أوجد طول وعرض المستطيل.
عرض حل المسألة
ليكن \( x \) (العرض، المسافة DC) و \( y \) (الطول، المسافة DA) هما أبعاد المستطيل. تُعطى المساحة \( A \) والمحيط \( P \) للمستطيل كالتالي:
حل معادلة المحيط من أجل \( y \):
عوض بـ \( y = 200 - x \) في صيغة المساحة للحصول على المساحة كدالة في \( x \):
مجال الدالة \( A(x) \) هو الفترة المغلقة \( [0, 200] \) نظراً لأن \( x \ge 0 \) و \( y = 200 - x \ge 0 \) (مما يعني \( x \le 200 \)).
لإيجاد قيمة \( x \) التي تعظم \( A \)، نحسب المشتقة الأولى \( \dfrac{dA}{dx} \):
جعل \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \) لإيجاد النقاط الحرجة:
عند أطراف المجال، \( A(0) = 0 \) و \( A(200) = 0 \). المشتقة الثانية هي:
بما أن المشتقة الثانية سالبة (\( -2 < 0 \))، فحسب اختبار المشتقة الثانية، توافق النقطة الحرجة \( x = 100 \) قيمة عظمى محلية (وهي قيمة عظمى مطلقة على الفترة المغلقة).
الطول المقابل هو \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \)، والمساحة العظمى هي \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \). وبالتالي، اختيار مستطيل بعرض \( x = 100 \; \text{mm} \) وطول \( y = 100 \; \text{mm} \) (مربع) ينتج عنه أكبر مساحة ممكنة.
التمارين
-
التمرين 1: حل نفس المسألة أعلاه ولكن بمحيط يساوي \( 500 \; \text{mm} \).
عرض حل التمرين 1
باستخدام صيغة المحيط \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \). دالة المساحة هي:
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]أخذ المشتقة الأولى:
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]الطول هو \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \).
الخلاصة: العرض \( x = 125 \; \text{mm} \) والطول \( y = 125 \; \text{mm} \) (مربع).