How do you minimize the time taken to walk from point A to point C across different terrains?

By formulating a total time function t(x) combining off-road and on-road travel times based on speeds and distances, taking the first derivative dt/dx, setting it to zero to find critical points, and verifying the minimum walking time.

استخدام المشتقات لحل المسائل: تحسين المسافة والزمن

تُعطى مسألة لتقليل (تحسين) الوقت المستغرق في المشي من نقطة إلى أخرى. يتم تطوير طريقة تحليلية، باستخدام المشتقات ومفاهيم ونظريات التفاضل والتكامل الأخرى، من أجل إيجاد حل تحليلي للمسألة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المسألة

قررت المشي من النقطة A (انظر الشكل أدناه) إلى النقطة C. إلى الجنوب من الطريق عبر BC، تكون التضاريس صعبة ولا يمكنك المشي إلا بسرعة \( 3 \; \text{km/hr} \). ومع ذلك، على طول الطريق BC يمكنك المشي بسرعة \( 5 \; \text{km/hr} \). المسافة من النقطة A إلى الطريق هي \( 5 \; \text{km} \). المسافة من B إلى C هي \( 10 \; \text{km} \). ما هو المسار الذي يجب أن تتبعه لكي تصل إلى النقطة C في أسرع (أقصر) وقت ممكن؟

Diagram of distance-time optimization problem — الشكل 1. مسار المشي من النقطة A إلى النقطة C عبر الطريق BC

عرض حل المسألة

لنفرض أنك تسلك المسار من A إلى P ومن P إلى C على خطوط مستقيمة. لتكن المسافة BP مساوية لـ \( x \). باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا التعبير عن المسافتين AP و PC:

Diagram of path segments — الشكل 2. مقاطع المسار AP و PC

\[ \text{distance } AP = \sqrt{5^2 + x^2} \] \[ \text{distance } PC = 10 - x \]

نحسب الآن الوقت \( t_1 \) لقطع المسافة AP (\( \text{الوقت} = \text{المسافة} / \text{السرعة} \)):

\[ t_1 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} \]

الوقت \( t_2 \) لقطع المسافة PC يُعطى كالتالي:

\[ t_2 = \frac{10 - x}{5} \]

الوقت الإجمالي \( t \) يُوجد بجمع \( t_1 \) و \( t_2 \):

\[ t(x) = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \frac{10 - x}{5} \]

مجال الدالة \( t(x) \) هو الفترة المغلقة \( [0, 10] \). بالنسبة لقيم \( x \) خارج هذه الفترة (حيث تقع النقطة P إلى يسار B أو إلى يمين C)، سيزداد الوقت الإجمالي.

لإيجاد قيمة \( x \) التي تقلل \( t \)، نحسب المشتقة الأولى \( \dfrac{dt}{dx} \):

\[ \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \frac{1}{5} \]

جعل \( \dfrac{dt}{dx} = 0 \) لإيجاد النقاط الحرجة:

\[ \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{5} \]

الضرب التبادلي:

\[ 5x = 3\sqrt{25 + x^2} \]

تربيع الطرفين:

\[ (5x)^2 = 9(25 + x^2) \implies 25x^2 = 225 + 9x^2 \]

تجميع الحدود المتشابهة:

\[ 16x^2 = 225 \implies x^2 = \frac{225}{16} \]

الحل من أجل \( x \) (\( x > 0 \)):

\[ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75 \; \text{km} \]

Table of sign of the first derivative dt/dx — الشكل 3. جدول إشارات المشتقة الأولى \( \dfrac{dt}{dx} \)

المشتقة الأولى \( \dfrac{dt}{dx} \) سالبة عندما \( x < 3.75 \)، وصفر عند \( x = 3.75 \)، وموجبة عندما \( x > 3.75 \). بتقييم \( t(x) \) عند الأطراف ينتج \( t(0) \approx 3.6 \; \text{hrs} \) و \( t(10) \approx 3.7 \; \text{hrs} \)، بينما عند \( x = 3.75 \)، يكون \( t(3.75) \approx 3.3 \; \text{hrs} \) (وهي القيمة الصغرى).

الخلاصة: يجب أن تمشي إلى النقطة P بحيث تكون \( BP = 3.75 \; \text{km} \) ثم تتابع على طول الطريق إلى C لتصل في أقصر وقت ممكن.

التمارين

التمرين 1: حل نفس المسألة أعلاه ولكن باستخدام المعايير المعدلة الموضحة في الرسم البياني أدناه.

الشكل 4. رسم بياني لتمرين التدريب

عرض حل التمرين 1

باستخدام نفس طريقة المشتقة التحليلية مع معايير التمرين:

\[ x = 6.26 \; \text{km} \quad (\text{مُدورة إلى رقمين عشريين}) \]

المسألة

التمارين

المراجع والروابط