استخدام المشتقة لإيجاد دالة تربيعية

أ) ميل المماس لمنحنى الدالة \( f \) يُعطى بمشتقته الأولى. لتكن \( f \) الدالة التربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية:

المشتقة الأولى لـ \( f \) هي:

بما أن ميل خط المماس يساوي قيمة المشتقة عند نقطة التماس، يمكننا تكوين معادلتين من خطوط المماس عند \( x = 1 \) و \( x = -2 \):

حل نظام المعادلات الخطية هذا:

طرح المعادلة الثانية من الأولى يعطي \( 6a = 12 \implies a = 2 \). تعويض \( a = 2 \) في \( 2(2) + b = 8 \) ينتج عنه \( b = 4 \).

خط المماس الثالث \( y = -8 \) أفقي، لذا فميله يساوي \( 0 \). الخط الأفقي يماس القطع المكافئ عند رأسه. الإحداثي السيني \( x \) لرأس القطع \( h \) يُوجد بجعل \( f'(x) = 0 \):

تعويض \( a = 2 \) و \( b = 4 \):

رسم الدالة التربيعية له رأس عند النقطة \( (-1, -8) \)، مما يعني أن \( f(-1) = -8 \):

لذلك، الدالة التربيعية \( f \) هي:

ب) الآن بعد أن أصبح لدينا معادلة الدالة التربيعية، نجد الإحداثيات الصادية \( y \) لنقاط التماس عند \( x = 1 \) و \( x = -2 \):

• عند \( x = 1 \): \( y = f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0 \) (النقطة \((1, 0)\)).
• عند \( x = -2 \): \( y = f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) - 6 = -6 \) (النقطة \((-2, -6)\)).

باستخدام صيغة النقطة والميل \( y - y_1 = m(x - x_1) \):

• المماس عند \( x = 1 \) (الميل \( m = 8 \)، يمر بالنقطة \((1, 0)\)): \( y - 0 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 8 \)
• المماس عند \( x = -2 \) (الميل \( m = -4 \)، يمر بالنقطة \((-2, -6)\)): \( y - (-6) = -4(x - (-2)) \implies y + 6 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 14 \)

جـ) رسوم الدالة التربيعية وخطوط المماس الثلاثة جميعها: