حل مسائل خطوط المماس في التفاضل والتكامل

تطبيقات المشتقة الأولى على خطوط المماس

تُعطى مسائل خطوط المماس وحلولها، باستخدام المشتقات الأولى.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أمثلة محلولة

المسألة 1

أوجد جميع النقاط على منحنى الدالة \( y = x^3 - 3x \) حيث يكون خط المماس موازياً لمحور السينات (أو خط مماس أفقي).

عرض حل المسألة 1

الخطوط الموازية لمحور السينات ميلها يساوي \( 0 \). ميل خط المماس لمنحنى الدالة \( y = x^3 - 3x \) يُعطى بالمشتقة الأولى \( y' \):

\[ y' = 3x^2 - 3 \]

نجد جميع قيم \( x \) التي تكون عندها \( y' = 0 \):

\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ and } x = 1 \]

نعوض بقيم الإحداثي السيني \( x \) هذه مرة أخرى في المعادلة الأصلية \( y = x^3 - 3x \) لإيجاد الإحداثيات الصادية \( y \) المقابلة:

  • عندما \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
  • عندما \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)

النقطتان اللتان تكون عندهتان خطوط المماس موازية لمحور السينات هما \( (-1, 2) \) و \( (1, -2) \).

Tangent lines to the graph of y = x^3 - 3x
الشكل 1. المماسات الأفقية لـ \( y = x^3 - 3x \)

المسألة 2

أوجد الثابتين \( a \) و \( b \) بحيث يكون الخط \( y = -3x + 4 \) مماساً لمنحنى الدالة \( y = ax^3 + bx \) عند \( x = 1 \).

عرض حل المسألة 2

لإيجاد \( a \) و \( b \)، نحتاج إلى معادلتين. أولاً، نقطة التماس تقع على كل من المنحنى \( y = ax^3 + bx \) وخط المماس \( y = -3x + 4 \) عند \( x = 1 \). إذن، إحداثياتهما الصادية \( y \) عند \( x = 1 \) متساوية:

\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]

ثانياً، ميل خط المماس هو \( -3 \)، والذي يجب أن يساوي المشتقة الأولى \( y' \) للدالة \( y = ax^3 + bx \) عند \( x = 1 \):

\[ y' = 3ax^2 + b \]

عند \( x = 1 \):

\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]

نحل نظام المعادلات:

  • \( a + b = 1 \)
  • \( 3a + b = -3 \)

طرح المعادلة الأولى من الثانية يعطي \( 2a = -4 \implies a = -2 \). تعويض \( a = -2 \) في \( -2 + b = 1 \) ينتج عنه \( b = 3 \).

الخلاصة: \( a = -2 \) و \( b = 3 \).

Tangent line y = -3x + 4 to the graph of y = ax^3 + bx
الشكل 2. خط المماس لـ \( y = -2x^3 + 3x \)

المسألة 3

أوجد الشروط على \( a \) و \( b \) بحيث لا يحتوي منحنى الدالة \( y = a e^x + bx \) على أي خط مماس يوازي محور السينات (مماس أفقي).

عرض حل المسألة 3

ميل خط المماس يُعطى بالمشتقة الأولى \( y' \) للدالة \( y = a e^x + bx \):

\[ y' = a e^x + b \]

لإيجاد نقاط ذات خط مماس أفقي، نضع \( y' = 0 \):

\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]

بما أن الدالة الأسية \( e^x > 0 \) لجميع الأعداد الحقيقية \( x \)، فإن هذه المعادلة ليس لها حلول حقيقية عندما تكون \( -\dfrac{b}{a} \le 0 \). لذلك، لا يمتلك المنحنى خط مماس أفقي إذا كانت \( \dfrac{b}{a} \ge 0 \) (أي أن \( a \) و \( b \) لهما نفس الإشارة أو \( b = 0 \)).

التمارين والحلول

  1. أوجد جميع النقاط على منحنى الدالة \( y = x^3 - 3x \) حيث يكون خط المماس موازياً للخط \( y = 9x + 4 \).
    عرض حل التمرين 1

    اجعل \( y' = 3x^2 - 3 = 9 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \).

    تقييم \( y \) عند \( x = 2 \) و \( x = -2 \) يعطي النقطتين \( (2, 2) \) و \( (-2, -2) \).

  2. أوجد \( a \) و \( b \) بحيث يكون الخط \( y = -2 \) مماساً لمنحنى الدالة \( y = ax^2 + bx \) عند \( x = 1 \).
    عرض حل التمرين 2

    باستخدام الشروط عند \( x = 1 \): \( a(1)^2 + b(1) = -2 \) و \( 2a(1) + b = 0 \).

    حل النظام يعطي \( a = 2 \) و \( b = -4 \).

  3. أوجد الشروط على \( a \)، و \( b \)، و \( c \) بحيث يحتوي منحنى الدالة \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) على خط مماس واحد فقط يوازي محور السينات (خط مماس أفقي واحد).
    عرض حل التمرين 3

    المشتقة هي \( y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \). لوجود مماس أفقي واحد تماماً، يجب أن يكون مميز المعادلة التربيعية مساوياً للصفر:

    \[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \]

المراجع والروابط