What is the 4th-order Runge-Kutta method for differential equations?

The 4th-order Runge-Kutta method is a numerical technique for approximating solutions to ordinary differential equations of the form y' = f(x, y) with initial value y(x₀) = K using weighted increments k₁, k₂, k₃, and k₄.

المعادلات التفاضلية – حاسبة طريقة رونج-كوتا ودرس تعليمي

حول طريقة رونج-كوتا

هذه أداة تفاعلية لاستكشاف طريقة رونج-كوتا العددية. تُستخدم هذه الطريقة لتقريب حلول المعادلات التفاضلية وهي قوية جداً لحل مجموعة واسعة من المسائل في العلوم والهندسة.

اعتبر المعادلة التفاضلية:

\( y' = f(x, y) \) مع \( y(x_0) = K \) (القيمة الابتدائية)

نريد تقريب الحل على فترة \( [a, b] \). نقسم هذه الفترة إلى \( n \) فترة أصغر بحجم \( h \). توفر طريقة رونج-كوتا من الرتبة الرابعة تقريباً كالتالي:

لتكن \( y_0 = K \) (القيمة الابتدائية)
\( y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}[k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4] \) لـ \( i = 0, 1, \dots, n-1 \)

حيث:
\( k_1 = h \cdot f(x_i, y_i) \)
\( k_2 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2}) \)
\( k_3 = h \cdot f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2}) \)
\( k_4 = h \cdot f(x_i + h, y_i + k_3) \)

خطأ التقريب المحلي من رتبة \( O(h^5) \) وينخفض من حيث المبدأ كلما صغر \( h \).

المعادلات المستخدمة في هذا العرض

\( y' = x^2 \)، \( y(0) = 1 \)، الحل المضبوط: \( y = \frac{x^3}{3} + 1 \)
\( y' = x^4 \)، \( y(0) = 1 \)، الحل المضبوط: \( y = \frac{x^5}{5} + 1 \)
\( y' = e^x \)، \( y(0) = 1 \)، الحل المضبوط: \( y = e^x \)
\( y' = \frac{1}{1+x} \)، \( y(0) = 1 \)، الحل المضبوط: \( y = \ln(1+x) + 1 \)

الدرس

جميع المعادلات التفاضلية في هذا العرض لها نفس القيمة الابتدائية \( y(0) = 1 \) وحلول مضبوطة للمقارنة.

حدد المعادلة التفاضلية الأولى \( y' = x^2 \). في البداية، \( h = 1.25 \) و \( n = 8 \).
افحص الحلول المضبوطة (المنحنى الأزرق) والتقريبية (النقاط الحمراء) على الرسم البياني.
قلل \( h \) عن طريق زيادة \( n \) (أو تقليل \( h \) مباشرة) وراقب كيف يتحسن التقريب.
حدد المعادلات التفاضلية الأخرى وحلل النتائج.
قارن القيم المضبوطة والتقريبية في الجدول أسفل الرسم البياني.

حاسبة رونج-كوتا

المعادلة التفاضلية:

حجم الخطوة (h):

عدد الخطوات (n):

النتائج

مقارنة بين الحل المضبوط وتقريب رونج-كوتا:

الخطوة (i)	\( x_i \)	التقريبي \( y_i \)	المضبوط \( y(x_i) \)	الخطأ	\( k_1 \)	\( k_2 \)	\( k_3 \)	\( k_4 \)

موارد إضافية

المزيد من المراجع حول المعادلات التفاضلية: