What is the limit of arctan(x) as x approaches infinity?

The limit of arctan(x) as x approaches infinity is pi/2, and as x approaches negative infinity, it is -pi/2.

نهاية الدالة ظا العكسية (Arctan(x عندما تقترب x من ما لانهاية

تم فحص نهاية الدالة \( \arctan(x) \) عندما تقترب \( x \) من ما لانهاية باستخدام طريقتين مختلفتين. تعتمد الأولى على المثلث القائم، بينما تعتمد الثانية على تعريف الدالة العكسية \( \arctan(x) \).

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

طريقة المثلث القائم لـ \( \arctan(x) \)

ليكن \( \alpha = \arctan(x) \)، مما يعطي \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \) واستخدم تعريف الظل (tan) في مثلث قائم الزاوية لتصور \( x = \tan \alpha \).

Right Triangle — الشكل 1 - \( \alpha = \arctan(x) \) في مثلث قائم الزاوية

الطريقة الهندسية

كلما زادت \( x \) بلا حدود، تقترب هندسياً زاوية \( \alpha \) من \( \dfrac{\pi}{2} \) ومن ثم نكتب النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]

الطريقة الجبرية

يمكننا أيضاً استخدام \( \sin(\alpha) \) المعطاة كالتالي:

\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]

حساب النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]

مما يعطي:

\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]

باستخدام نهاية الدوال المركبة:

\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]

بما أن \( \dfrac{\pi}{2} \) عدد ثابت، يمكننا كتابة:

\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]

بحيث تصبح:

\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]

وأخيراً، باستخدام \( \alpha = \arctan(x) \):

\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]

طريقة رسوم الدالتين Tan(x) و Arctan(x) البيانية

يُعرض أدناه رسم بياني للدالة \( y = \tan x \) (باللون الأزرق) على الفترة \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \)، حيث تمثل \( x = \dfrac{\pi}{2} \) و \( x = -\dfrac{\pi}{2} \) خطوط تقارب رأسية (خطوط زرقاء متقطعة). إنها دالة تقابلية (أحادية) وبالتالي تمتلك الدالة العكسية \( y = \arctan(x) \) كما هو موضح أدناه (باللون الأحمر).

تتحول خطوط التقارب الرأسية للدالة \( y = \tan x \) إلى خطوط تقارب أفقية (خطوط حمراء متقطعة) للدالة العكسية \( y = \arctan(x) \)، والتي يمكن كتابتها بالتعريف باستخدام النهايات كالتالي:

\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]

Graph of tan(x) and arctan(x) — الشكل 2 - رسم بياني للدالتين \( \tan(x) \) و \( \arctan(x) \)

نهاية الدالة Arctan(x) عندما تقترب x من ما لانهاية

طريقة المثلث القائم لـ \( \arctan(x) \)

الطريقة الهندسية

الطريقة الجبرية

طريقة رسوم الدالتين Tan(x) و Arctan(x) البيانية

المزيد من المراجع والروابط