ما هي نهاية الدالة في التفاضل والتكامل؟

تصف نهاية الدالة القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب متغير الإدخال من قيمة معينة. وهي تتعلق بسلوك الدالة بالقرب من نقطة ما وليس بالضرورة عند النقطة نفسها.

مقدمة للنهايات في التفاضل والتكامل – المقترب العددي والرسومي

يتم استخدام المقتربين العددي والرسومي لتقديم مفهوم النهايات باستخدام الأمثلة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المقترب العددي للنهايات

المثال 1

ليكن \( f(x) = 2x + 2 \) واحسب \( f(x) \) عندما تأخذ \( x \) قيمًا أقرب إلى 1. نأخذ أولاً في الاعتبار قيم \( x \) المقتربة من 1 من اليسار (\( x < 1 \)).

جدول قيم f(x) عندما تقترب x من 1 من اليسار

نأخذ الآن في الاعتبار \( x \) مقتربة من 1 من اليمين (\( x > 1 \)).

جدول قيم f(x) عندما تقترب x من 1 من اليمين

في كلا الحالتين عندما تقترب \( x \) من 1، تقترب \( f(x) \) من 4. بديهياً، نقول إن \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \).

ملاحظة: نحن نتحدث عن القيم التي تأخذها \( f(x) \) عندما تقترب \( x \) من \( 1 \) وليس \( f(1) \). في الواقع، يمكننا التحدث عن نهاية \( f(x) \) عندما تقترب \( x \) من \( a \) حتى عندما تكون \( f(a) \) غير معرفة.

المثال 2

ليكن \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \) واحسب \( g(x) \) عندما تأخذ \( x \) قيمًا أقرب إلى 0. نحن نعتبر قيم \( x \) المقتربة من 0 من اليسار (\( x < 0 \)) وقيم \( x \) المقتربة من 0 من اليمين (\( x > 0 \)).

جدول قيم g(x) عندما تقترب x من 0 من اليسار ومن اليمين

هنا نقول إن \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \). لاحظ أن \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) غير معرفة عند \( x = 0 \).

المقترب الرسومي للنهايات

المثال 3

يوضح الرسم البياني أدناه أنه عندما تقترب \( x \) من 1 من اليسار، تقترب \( y = f(x) \) من 2 ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]

عندما تقترب \( x \) من 1 من اليمين، تقترب \( y = f(x) \) من 4 ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]

لاحظ أن نهايتي اليسار واليمين و \( f(1) = 3 \) كلها مختلفة.

مثال الرسم البياني 3

المثال 4

يوضح هذا الرسم البياني أن:

\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]

عندما تقترب \( x \) من 1 من اليمين، تقترب \( y = f(x) \) من 4 ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]

لاحظ أن نهاية اليسار \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \) و \( f(1) = 2 \) متساويتان.

مثال الرسم البياني 4

المثال 5

يوضح هذا الرسم البياني أن:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]

لاحظ أن نهايتي اليسار واليمين متساويتان ويمكننا أن نكتب:

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \]

في هذا المثال، النهاية عندما تقترب \( x \) من 0 تساوي \( f(0) = 1 \).

مثال الرسم البياني 5

المثال 6

يوضح هذا الرسم البياني أنه عندما تقترب \( x \) من -2 من اليسار، تصبح \( f(x) \) أصغر فأصغر بلا حدود وليس لها نهاية. نكتب:

\[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty \]

عندما تقترب \( x \) من -2 من اليمين، تصبح \( f(x) \) أكبر فأكبر بلا حدود وليس لها نهاية. نكتب:

\[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty \]

لاحظ أن \( -\infty \) و \( +\infty \) هما رمزان وليسا أعدادًا. هذان رمزان يُستخدمان للإشارة إلى أن النهاية غير موجودة.

مثال الرسم البياني 6

المثال 7

يوضح الرسم البياني أدناه دالة دورية مداها مُعطى بالفترة [-1, 1]. إذا سُمح لـ \( x \) بالزيادة بلا حدود، فإن \( f(x) \) تأخذ قيمًا ضمن [-1, 1] وليس لها نهاية. ويمكن كتابة ذلك كالتالي:

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{does not exist} \]

إذا سُمح لـ \( x \) بالنقصان بلا حدود، فإن \( f(x) \) تأخذ قيمًا ضمن [-1, 1] وليس لها نهاية مرة أخرى. ويمكن كتابة ذلك كالتالي:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{does not exist} \]

مثال الرسم البياني 7

المثال 8

إذا سُمح لـ \( x \) بالزيادة بلا حدود، فإن \( f(x) \) في الرسم البياني أدناه تقترب من 2. يمكن كتابة ذلك كالتالي:

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]

إذا سُمح لـ \( x \) بالنقصان بلا حدود، فإن \( f(x) \) تقترب من 2. يمكن كتابة ذلك كالتالي:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \]

مثال الرسم البياني 8