استخدام نظرية الإحصار لإيجاد النهايات

نظرية الإحصار (الشطيرة)، الحلول التفصيلية، والبراهين

تستخدم نظرية الإحصار، وتسمى أيضاً نظرية الشطيرة، لإيجاد النهايات.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظرية الإحصار

إذا كانت \( f \)، \( g \)، و \( h \) دوال بحيث:

\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]

لكل قيم \( x \) في فترة مفتوحة تحتوي على \( a \) (باستثناء احتمال عند \( a \))، وإذا كان:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]

فإن:

\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]

أمثلة مع الحلول

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \]
عرض حل المثال 1

عندما تقترب \( x \) من \( 0 \)، تصبح \( \dfrac{1}{x} \) كبيرة جداً في القيمة المطلقة، وتتذبذب الدالة \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) بشكل كبير.

مع ذلك، تأخذ الدالة \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) قيمًا ضمن الفترة \([-1, 1]\)، وهي مدى دالة جيب التمام. ومن ثم:

\[ -1 \le \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1 \]

نضرب جميع أطراف المتباينة السابقة في \( x^2 \) (مع ملاحظة أن \( x^2 > 0 \) لكل \( x \neq 0 \)):

\[ -x^2 \le x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2 \]

المتباينة السابقة صحيحة لأي قيمة لـ \( x \) ما عدا \( 0 \)، حيث تكون الدالة \( x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) غير معرفة. عندما تقترب \( x \) من \( 0 \)، تقترب كل من \( -x^2 \) و \( x^2 \) من \( 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]

لذلك، ووفقاً لنظرية الإحصار، نحصل على:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 \]

المثال 2

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]
عرض حل المثال 2

فترض أن \( 0 < x < \pi/2 \) واعتبر دائرة الوحدة والقطاع \( OAC \) بزاوية مركزية \( x \) في الوضع القياسي. \( A \) هي نقطة على دائرة الوحدة، و \( AB \) مماس للدائرة عند النقطة \( A \)، مشكلاً زاوية قائمة عند هذه النقطة.

Geometrical Computation of Limit of sin x/x
الشكل 1. الاشتقاق الهندسي لـ \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)

النقطة \( C \) هي نقطة على دائرة الوحدة (نصف قطرها يساوي 1) إحداثياتها \( (\cos x, \sin x) \). دعنا نجد مساحات المثلث \( OAC \)، والقطاع \( OAC \)، والمثلث القائم \( OAB \).

باستخدام صيغة الجيب لمساحة المثلث:

\[ \text{مساحة المثلث } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \sin x \]

باستخدام صيغة مساحة القطاع الدائري:

\[ \text{مساحة القطاع } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot OC^2 = \dfrac{1}{2} x \]

مساحة المثلث القائم \( OAB \):

\[ \text{مساحة المثلث القائم } OAB = \dfrac{1}{2} \cdot (\text{القاعدة}) \cdot (\text{الارتفاع}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{1}{2} \tan x \]

بمقارنة المساحات الثلاث هندسياً، يمكننا كتابة المتباينة:

\[ \text{مساحة المثلث } OAC < \text{مساحة القطاع } OAC < \text{مساحة المثلث } OAB \]

عوض عن المساحات بتعابيرها:

\[ \dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x \]

نضرب جميع الأطراف في \( \dfrac{2}{\sin x} \) (بما أن \( \sin x > 0 \) لـ \( 0 < x < \pi/2 \)):

\[ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} \]

نأخذ المقلوب ونعكس إشارات المتباينة:

\[ 1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x \]

وهو ما يعادل:

\[ \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \]

ويمكن إثبات أن هذه المتباينة تنطبق أيضاً على \( -\pi/2 < x < 0 \)، لذا فإن المتباينة تنطبق على جميع قيم \( x \) في فترة مفتوحة حول \( 0 \) ما عدا \( x = 0 \) حيث تكون الدالة \( \dfrac{\sin x}{x} \) غير معرفة. بما أن:

\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]

يمكننا تطبيق نظرية الإحصار للحصول على:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

هذه النهاية الأساسية ضرورية لحساب نهايات الدوال المثلثية الأخرى وحساب مشتقاتها.

المزيد من المراجع والروابط