قاعدة لوبيتال والصيغ غير المعينة للنهايات في التفاضل والتكامل

أمثلة، حلول تفصيلية، وتارين تدريبية

تتيح لنا قاعدة لوبيتال استبدال مسألة نهاية بأخرى قد تكون أبسط في الحل. يتم عرض العديد من الأمثلة جنباً إلى جنب مع حلولها وشروحاتها التفصيلية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

قاعدة لوبيتال

إذا كانت \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) و \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) (أو يقتربان كلاهما من \( \pm\infty \)) وكانت \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) تمتلك قيمة منتهية \( L \)، أو كانت من الشكل \( +\infty \) أو \( -\infty \)، إذن:

\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

حيث يرمز الرمز \( \lim \) إلى \( \lim_{x \to a} \) أو \( \lim_{x \to a^+} \) أو \( \lim_{x \to a^-} \) أو \( \lim_{x \to +\infty} \) أو \( \lim_{x \to -\infty} \).

وأن \( f'(x) \) و \( g'(x) \) هما مشتقتا \( f(x) \) و \( g(x) \) على التوالي.

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر فوق كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)

إظهار الحل

بما أن:

\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]

و

\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]

يمكن استخدام قاعدة لوبيتال لتقييم النهاية أعلاه على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]

المثال 2

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)

إظهار الحل

لاحظ أن:

\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]

و

\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]

يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال لحساب النهاية المعطاة كالتالي:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \]
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]

المثال 3

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)

إظهار الحل

بما أن نهاية البسط:

\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]

ونهاية المقام:

\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]

كلاهما مساوٍ للصفر، يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال لحساب النهاية:

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \]
\[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]

ملاحظة: يمكن حساب نفس النهاية عن طريق التحليل أولاً كالتالي:

\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]

المثال 4

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)

إظهار الحل

نهاية البسط:

\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]

نهاية المقام:

\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]

كلا النهايتين مساويتان للصفر، لذا يمكن استخدام قاعدة لوبيتال:

\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \]
\[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]

المثال 5

أوجد النهاية \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)

إظهار الحل

نهاية البسط والمقام:

\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]

يمكن استخدام قاعدة لوبيتال:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]

النهاية الجديدة هي أيضاً صيغة غير معينة \( \dfrac{0}{0} \)، ويمكننا تطبيق قاعدة لوبيتال للمرة الثانية:

\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]

التمارين

احسب النهايات التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)

إظهار الإجابة
\[ 2 \]

التمرين 2

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)

إظهار الإجابة
\[ 1 \]

التمرين 3

\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)

إظهار الإجابة
\[ \dfrac{1}{3} \]

التمرين 4

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)

إظهار الإجابة
\[ \dfrac{1}{2} \]

مزيد من المراجع والروابط