مواءمة أصغر المربعات الخطية

التحسين، المعادلات الطبيعية، الاشتقاق الرياضي، والحاسبة التفاعلية

ما هي مواءمة أصغر المربعات الخطية؟

لتكن \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_N, y_N) \) نقاط بيانات تجريبية كما هو موضح في المخطط النقطي أدناه ونفترض أننا نريد التنبؤ بالمتغير التابع \( y \) لقيم مختلفة للمتغير المستقل \( x \) باستخدام نموذج خطي من الشكل:

\[ y = ax + b \]
scatter plot of data points
الشكل 1. مخطط تقاطعي للبيانات التجريبية

من الإجراءات المستخدمة على نطاق واسع في الرياضيات هو تقليل مجموع \( D \) لمربعات المسافات الرأسية \( d_1, d_2, \dots \) بين النموذج الرياضي \( y = f(x) \) والنقاط التجريبية كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.

least square fitting a model to data
الشكل 2. مواءمة نموذج أصغر المربعات للبيانات

الاشتقاق الرياضي

ليكن \( f(x) = ax + b \) النموذج الخطي المراد استخدامه. إذن المسافات الرأسية \( d_1, d_2, \dots \) تُعطى بواسطة:

\[ d_1 = |y_1 - (ax_1 + b)|, \quad d_2 = |y_2 - (ax_2 + b)|, \quad \dots \]

يمكن كتابة مجموع \( D \) لمربعات المسافات الرأسية على النحو التالي:

\[ D = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (ax_i + b))^2 \]

قيمتا \( a \) و \( b \) اللتان تقللان \( D \) هما القيمتان التي تجعلان المشتقات الجزئية لـ \( D \) بالنسبة لـ \( a \) و \( b \) مساوية للصفر في نفس الوقت. ومن ثم، نحسب المشتقات الجزئية:

\[ \dfrac{\partial D}{\partial a} = \sum_{i=1}^{N} -2x_i(y_i - ax_i - b) \] \[ \dfrac{\partial D}{\partial b} = \sum_{i=1}^{N} -2(y_i - ax_i - b) \]

بمساواة كلا المشتقات بالصفر والقسمة على \( -2 \) ينتج نظام المعادلات الطبيعية:

\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_i(y_i - ax_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} (y_i - ax_i - b) = 0 \end{cases} \]

فك المجاميع:

\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - b \sum_{i=1}^{N} x_i = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} y_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i - Nb = 0 \end{cases} \]

إعادة ترتيب الحدود التي تحتوي على \( a \) و \( b \) إلى اليسار:

\[ \begin{cases} a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 + b \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ a \sum_{i=1}^{N} x_i + Nb = \sum_{i=1}^{N} y_i \end{cases} \]

بالصيغة المصفوفية:

\[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \]

باستخدام صيغة المصفوفة العكسية لمصفوفة \( 2 \times 2 \)، نحل من أجل \( a \) و \( b \):

\[ a = \dfrac{N \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - (\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} y_i)}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \] \[ b = \dfrac{-(\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} x_iy_i) + (\sum_{i=1}^{N} x_i^2)(\sum_{i=1}^{N} y_i)}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]

مثال على تطبيق مواءمة أصغر المربعات الخطية

أوجد مواءمة أصغر المربعات الخطية \( y = ax + b \) لنقاط البيانات التجريبية المعطاة بـ:

\[ \{(1, 2), (3, 4), (2, 6), (4, 8), (5, 12), (6, 13), (7, 15)\} \]
عرض حل المثال

أنشئ جدولاً بالكميات اللازمة:

\( x_i \) \( y_i \) \( x_i y_i \) \( x_i^2 \)
1 2 2 1
3 4 12 9
2 6 12 4
4 8 32 16
5 12 60 25
6 13 78 36
7 15 105 49

إجمالي عدد النقاط هو \( N = 7 \).

\( \sum_{i=1}^{7} x_i = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \)

\( \sum_{i=1}^{7} y_i = 2 + 4 + 6 + 8 + 12 + 13 + 15 = 60 \)

\( \sum_{i=1}^{7} x_iy_i = 2 + 12 + 12 + 32 + 60 + 78 + 105 = 301 \)

\( \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 1 + 9 + 4 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 \)

بالتعويض في الصيغ:

\[ a = \dfrac{7 \times 301 - 28 \times 60}{7 \times 140 - 28^2} = \dfrac{2107 - 1680}{980 - 784} = \dfrac{427}{196} \approx 2.1786 \] \[ b = \dfrac{-28 \times 301 + 140 \times 60}{7 \times 140 - 28^2} = \dfrac{-8428 + 8400}{196} = \dfrac{-28}{196} \approx -0.1429 \]

حاسبة مواءمة أصغر المربعات الخطية

بالنظر إلى النقاط التجريبية، تقوم هذه الحاسبة بتصحيح المعاملات \( a \) و \( b \) ومحاسبة معادلة الخط \( y = ax + b \) ومعامل الارتباط. كما أنها ترسم النقاط التجريبية بجانب الخط الأنسب.

أدخل النقاط كـ \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots\) مفصولة بفواصل، أو استخدم مجموعة البيانات الافتراضية.

مرر مؤشر الماوس فوق الزاوية العلوية اليمنى من الرسم البياني لتنزيل الرسم بتنسيق PNG.

المزيد من المراجع والروابط