المشتقات الجزئية

التعريف، الصيغ، الأمثلة التفصيلية، والتمارين التدريبية

تعريف المشتقات الجزئية

لتكن \( f(x, y) \) دالة في متغيرين. إذا ثبتنا \( y \) واشتققنا \( f \) (بافتراض أن \( f \) قابلة للإشتقاق) بالنسبة للمتغير \( x \)، باستخدام قواعد وصيغ التفاضل القياسية، فنحن نحصل على المشتقة الجزئية لـ \( f \) بالنسبة لـ \( x \)، والتي يُرمز إليها بـ:

\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{أو} \quad f_x \]

وبالمثل، إذا ثبتنا \( x \) واشتققنا \( f \) بالنسبة للمتغير \( y \)، فنحن نحصل على المشتقة الجزئية لـ \( f \) بالنسبة لـ \( y \)، والتي يُرمز إليها بـ:

\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{أو} \quad f_y \]

يمكننا أيضاً تعريف المشتقات الجزئية باستخدام النهايات على النحو التالي:

\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]

و

\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد المشتقتين الجزئيتين \( f_x \) و \( f_y \) إذا كانت \( f(x, y) \) مُعطاة كما يلي:

\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]
عرض حل المثال 1

افترض أن \( y \) ثابت واشتق بالنسبة لـ \( x \):

\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]

افترض أن \( x \) ثابت واشتق بالنسبة لـ \( y \):

\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]

المثال 2

أوجد المشتقتين الجزئيتين \( f_x \) و \( f_y \) إذا كانت \( f(x, y) \) مُعطاة كما يلي:

\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]
عرض حل المثال 2

اشتق بالنسبة لـ \( x \) مع افتراض أن \( y \) ثابت (باستخدام قاعدة السلسلة لـ \(\sin(xy)\)):

\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]

اشتق بالنسبة لـ \( y \) مع افتراض أن \( x \) ثابت:

\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]

المثال 3

أوجد \( f_x \) و \( f_y \) إذا كانت \( f(x, y) \) مُعطاة كما يلي:

\[ f(x, y) = x e^{xy} \]
عرض حل المثال 3

اشتق بالنسبة لـ \( x \) مع افتراض أن \( y \) ثابت باستخدام قاعدة الضرب:

\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]

اشتق بالنسبة لـ \( y \) مع افتراض أن \( x \) ثابت:

\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]

المثال 4

أوجد \( f_x \) و \( f_y \) إذا كانت \( f(x, y) \) مُعطاة كما يلي:

\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]
عرض حل المثال 4

اشتق بالنسبة لـ \( x \):

\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]

اشتق بالنسبة لـ \( y \):

\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]

المثال 5

أوجد \( f_x(2, 3) \) و \( f_y(2, 3) \) إذا كانت \( f(x, y) \) مُعطاة كما يلي:

\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]
عرض حل المثال 5

نوجد أولاً المشتقات الجزئية \( f_x \) و \( f_y \):

\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]

عوض بـ \( x = 2 \) و \( y = 3 \):

\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]

التمارين

أوجد المشتقات الجزئية \( f_x \) و \( f_y \) للدوال التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( f(x, y) = x e^{x + y} \)

عرض الإجابة
\[ f_x = (x + 1)e^{x + y}, \quad f_y = x e^{x + y} \]

التمرين 2

\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)

عرض الإجابة
\[ f_x = \frac{1}{x}, \quad f_y = \frac{1}{y + 2} \]

ملاحظة على التمرين 2

ملاحظة: وفقاً لخواص اللوغاريتمات، \( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \)، مما يجعل إيجاد المشتقات الجزئية أمراً مباشراً.

التمرين 3

\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)

عرض الإجابة
\[ f_x = x \cos(x - y) + \sin(x - y), \quad f_y = -x \cos(x - y) \]

المزيد من المراجع والروابط للمشتقات الجزئية والدوال متعددة المتغيرات