متسلسلات تايلور وماكلورين مع الأمثلة

درس في التفاضل والتكامل: تقريبات كثيرات الحدود ونشر متسلسلات القوى

يتم عرض استخدام متسلسلات تايلور وماكلورين لنشر وتقريب الدوال كمتسلسلة قوى عند قيم محددة لـ \( x \). توفر هذه المتسلسلات تقريبات مفيدة بـ كثيرات الحدود للدوال المولدة والتي تكون أسهل في البرمجة على الآلات الحاسبة. يتم تضمين الأمثلة والأسئلة وحلولها.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

تعريف متسلسلات تايلور وماكلورين

بالنسبة لدالة \( f \) لها مشتقات من جميع الرتب معرفة في فترة تحتوي على \( a \)، فإن متسلسلة تايلور للدالة \( f \) عند \( x = a \) تُعطى كالتالي [1]:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

حيث \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \) هي مشتقات \( f \) المحسوبة عند \( x = a \).

متسلسلة ماكلورين للدالة \( f \) هي متسلسلة تايلور المتمركزة عند \( x = 0 \) وتُعطى كالتالي:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

متسلسلات تايلور وماكلورين غير منتهية، ولكن يمكن قطعها إلى \( n \) حد لإنتاج كثيرة حدود تايلور المعطاة بـ:

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

تتوفر حاسبة متسلسلات تايلور عبر الإنترنت ويمكن استخدامها للتحقق من العديد من الأمثلة والتمارين الواردة أدناه بالإضافة إلى توليد مسائل جديدة.

أمثلة على نشر متسلسلات تايلور وماكلورين

المثال 1

أ) أوجد كثيرة حدود تايلور \( P_4(x) \) (من الرتبة 4) المتولدة بواسطة \( f(x) = \sin(x) \) عند \( x = \pi/2 \).
ب) ارسم \( \sin(x) \) و \( P_4(x) \) في فترة تحتوي على \( \pi/2 \) وقارن بين الرسمين البيانيين.

عرض حل المثال 1

أ) كثيرة حدود تايلور من الرتبة 4 تُعطى كالتالي:

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

حساب المشتقات الأربع الأولى لـ \( f(x) = \sin(x) \):

  • \( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
  • \( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
  • \( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
  • \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

التعويض في \( P_4(x) \):

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

ب) بمقارنة رسمني \( \sin(x) \) وكثيرة حدود تايلور الخاصة بها من الرتبة 4، نجد أن المنحنيين يتطابقان بشكل وثيق بالقرب من \( x = \pi/2 \)، مما يؤكد أن \( P_4(x) \) يوفر تقريباً محلياً دقيقاً.

Graphs comparing sin(x) and its Taylor expansion example 1
الشكل 1. مقارنة بين \( \sin(x) \) و \( P_4(x) \)

المثال 2

أ) أوجد كثيرة حدود تايلور \( P_5(x) \) (من الرتبة 5) المتولدة بواسطة \( f(x) = \ln(x) \) عند \( x = 1 \).
ب) ارسم \( \ln(x) \) و \( P_5(x) \) في فترة تحتوي على \( 1 \) وقارن بين الرسمين البيانيين.
ج) احسب قيم \( P_5(x) \) و \( \ln(x) \) في الجدول أدناه وقارن القيم المقابلة.

\( P_5(x) \)\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)\( \ln(0.2) \)
عرض حل المثال 2

أ) كثيرة حدود تايلور من الرتبة 5 عند \( x = 1 \) هي:

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

حساب المشتقات الخمس الأولى لـ \( f(x) = \ln(x) \):

  • \( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
  • \( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
  • \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
  • \( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
  • \( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

التعويض في \( P_5(x) \) والتبسيط:

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

ب) تُظهر الرسوم البيانية أن \( P_5(x) \) تقارب \( \ln(x) \) بشكل جيد بالقرب من \( x = 1 \).

Graphs comparing ln(x) and its Taylor expansion example 2
الشكل 2. مقارنة بين \( \ln(x) \) و \( P_5(x) \)

ج) مقارنة جدول القيم:

التقريبي \( P_5(x) \)المضبوط \( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) = 0.00995 \)\( \ln(1.01) = 0.00995 \)
\( P_5(0.99) = -0.01005 \)\( \ln(0.99) = -0.01005 \)
\( P_5(1.1) = 0.09531 \)\( \ln(1.1) = 0.09531 \)
\( P_5(0.9) = -0.10536 \)\( \ln(0.9) = -0.10536 \)
\( P_5(1.5) = 0.40729 \)\( \ln(1.5) = 0.40546 \)
\( P_5(0.5) = -0.68854 \)\( \ln(0.5) = -0.69314 \)
\( P_5(1.8) = 0.61380 \)\( \ln(1.8) = 0.58778 \)
\( P_5(0.2) = -1.45860 \)\( \ln(0.2) = -1.60943 \)

تُقدم كثيرة الحدود \( P_5(x) \) تقريباً ممتازاً للقيم القريبة من \( x = 1 \).

المثال 3

أ) أوجد متسلسلة ماكلورين المتولدة بواسطة \( f(x) = e^x \).
ب) ارسم متسلسلة ماكلورين في فترة تحتوي على \( 0 \) بـ 2، 3، 4، 5، و 6 حدود.

عرض حل المثال 3

أ) تُعطى متسلسلة ماكلورين كالتالي:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

بما أن جميع مشتقات \( f(x) = e^x \) المحسوبة عند \( x = 0 \) تساوي \( 1 \):

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

ب) كثيرات الحدود من رتب مختلفة:

  • \( P_1(x) = 1 + x \)
  • \( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
  • \( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
  • \( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
  • \( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)
Graphs of Maclaurin series of different orders and function e^x
الشكل 3. رسوم كثيرات حدود ماكلورين ذات الرتب المختلفة للدالة \( e^x \)

الأسئلة

الجزء أ

أوجد كثيرة حدود تايلور من الرتبة 4 المتولدة بواسطة \( f \) عند القيمة المعطاة لـ \( x \):

  1. \( f(x) = e^{-x} \)، عند \( x = 2 \)
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \)، عند \( x = \pi \)

الجزء ب

أوجد متسلسلة ماكلورين للدوال التالية:

  1. \( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

الجزء ج

أوجد كثيرة حدود تايلور من الرتبة 5 المتولدة بواسطة \( f(x) = \sin(x)e^x \) عند \( x = 0 \) وارسم \( f \) وكثيرة حدود تايلور في نفس نظام الإحداثيات.

حلول الأسئلة السابقة

الجزء أ

  1. \( f(x) = e^{-x} \implies f'(x) = -e^{-x}, \, f''(x) = e^{-x}, \, f^{(3)}(x) = -e^{-x}, \, f^{(4)}(x) = e^{-x} \). عند \( x = 2 \):
    \[ P_4(x) = \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x-2) + \frac{1}{2e^2}(x-2)^2 - \frac{1}{6e^2}(x-2)^3 + \frac{1}{24e^2}(x-2)^4 \] \[ = \frac{x^4}{24e^2} - \frac{x^3}{2e^2} + \frac{5x^2}{2e^2} - \frac{19x}{3e^2} + \frac{7}{e^2} \]
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \implies f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x/2), \, f''(x) = -\frac{1}{4}\sin(x/2), \, f^{(3)}(x) = -\frac{1}{8}\cos(x/2), \, f^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\sin(x/2) \). عند \( x = \pi \):
    \[ P_4(x) = 1 - \frac{1}{8}(x-\pi)^2 + \frac{1}{384}(x-\pi)^4 \] \[ = \frac{x^4}{384} - \frac{\pi x^3}{96} - \frac{x^2}{8} + \frac{\pi^2 x^2}{64} + \frac{\pi x}{4} - \frac{\pi^3 x}{96} - \frac{48\pi^2 + \pi^4 + 384}{384} \]

الجزء ب

  1. \( f(x) = \cos(x+\pi/2) = -\sin(x) \implies -x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{120}x^5 + \frac{1}{5040}x^7 - \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \implies 2 + x^2 + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{360}x^6 + \frac{1}{20160}x^8 + \dots \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \implies 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{24}x^8 + \dots \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \implies x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \implies 2x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{2520}x^7 + \frac{1}{181440}x^9 + \dots \)

الجزء ج

بالنسبة لـ \( f(x) = \sin(x)e^x \) عند \( x = 0 \):

\[ P_5(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 \]
Graphs of Taylor polynomial P_5(x) and function sin(x)e^x
الشكل 4. مقارنة بين \( \sin(x)e^x \) وكثيرة حدود تايلور الخاصة بها \( P_5(x) \)

المزيد من المراجع والروابط

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. حاسبة متسلسلات تايلور عبر الإنترنت
  5. مقدمة في كثيرات الحدود
  6. درس متسلسلات فورييه
  7. الصفحة الرئيسية لأنايلايز ماث