What is the difference between a convergent and divergent series?

A series is convergent if the limit of its partial sums as n approaches infinity exists and is a finite real number. If the limit does not exist or is infinite, the series is divergent.

المتسلسلات المتقاربة والمتباعدة – درس في التفاضل والتكامل وأمثلة

يتم عرض تقارب وتباعد المتسلسلات مع الأمثلة وحلولها التفصيلية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

تعريف المتسلسلة

لتكن \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) متتالية غير منتهية. المجموع غير المنتهي:

\[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \]

يُسمى متسلسلة [1] [2].

يمكن كتابة المتسلسلة أيضاً باستخدام رمز المجموع \( \displaystyle \sum \) كالتالي:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

لاحظ أنه عندما يكون الحد الأعلى للمجموع ما لا نهاية كما في \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \)، فنحن أمام متسلسلة، وعندما يكون الحد الأعلى للمجموع منتهياً كما في \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \)، فنحن أمام مجموع جزئي.

المتسلسلات المتقاربة والمتباعدة

نناقش أولاً تقارب وتباعد المتسلسلات باستخدام الرسوم البيانية ومثالين.

مثال 1 - متسلسلة متقاربة

لتكن \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) ونعرف المجاميع الجزئية كالتالي:

\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

جدول قيم \( n \)، و \( a_n \)، والمجاميع المنتهية \( s_n \) المعرفة بـ:

\( s_1 = a_1 \)
\( s_2 = a_1 + a_2 \)
\( s_3 = a_1 + a_2 + a_3 \)
\( s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \)

موضحة أدناه. لاحظ أنه كلما أضفنا المزيد من الحدود إلى المجموع الجزئي \( s_n \)، أصبح أقرب إلى \( 2 \)، كما هو موضح بوضوح في الجدول 1 والرسم البياني 1 أدناه.

Table of a Convergent Series — الجدول 1. جدول قيم \( n \)، و \( a_n \)، والمجاميع الجزئية \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)

Graph of a Convergent Series — الرسم البياني 1. رسم المجاميع الجزئية \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \)

كلما زادت \( n \)، يميل المجموع الجزئي \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) إلى قيمة ثابتة تساوي \( 2 \). لذلك يمكننا القول إن المتسلسلة \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) متقاربة إلى \( 2 \).

مثال 2 - متسلسلة متباعدة

لتكن \( a_i = (-2)^i \) ونعرف المجاميع الجزئية كالتالي:

\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

يُظهر أدناه جدول قيم \( n \)، و \( a_n \)، والمجاميع المنتهية \( s_n \). بينما نضيف المزيد من الحدود، لا يُظهر الجدول 2 ولا الرسم البياني 2 تقارباً لأي قيمة. المجموع الجزئي ليس له نهاية، ونعتبر المتسلسلة \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) متباعدة.

Table of a Divergent Series — الجدول 2. جدول قيم المجاميع الجزئية \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \)

Graph of a Divergent Series — الرسم البياني 2. رسم المجاميع الجزئية \( \displaystyle \sum (-2)^i \)

التعريف الرسمي للمتسلسلات المتقاربة والمتباعدة

بالتحديد لمتسلسلة:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \]

لتكن \( S_n \) المجموع الجزئي:

\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

إذا كانت \( \lim_{n\to\infty} S_n \) موجودة و:

\[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \]

حيث \( s \) عدد حقيقي، فنقول إن المتسلسلة \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) متقاربة ونكتب:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

إذا لم تكن \( \lim_{n\to\infty} S_n \) موجودة أو لم تكن عدداً حقيقياً، تكون المتسلسلة \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) متباعدة. يمكننا أيضاً أن نكتب:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

المتسلسلة الهندسية

تُعرّف المتسلسلة الهندسية كالتالي:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \]

حيث يُسمى \( r \) الأساس المشترك.

لتكن \( S_n \) المجموع الجزئي المعرف بـ:

\[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] ضرب الطرفين في \( r \): \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] طرح (II) من (I): \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

من المعروف من النهايات أن \( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) إذا كانت \( |r| < 1 \). وبالتالي، نذكر:

المتسلسلة الهندسية \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = a + a r + a r^2 + \dots \) تكون متقاربة إذا كانت \( |r| < 1 \)، ومجموعها يُعطى بـ:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} a r^{i-1} = \frac{a}{1 - r}, \quad |r| < 1 \]

إذا كانت \( |r| > 1 \)، تكون المتسلسلة الهندسية متباعدة.

مثال 3 - المتسلسلة الهندسية

أي من المتسلسلات الهندسية التالية متقاربة؟ أوجد المجموع إن أمكن.

\( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

حلول المثال 3

المتسلسلة \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \) لها أساس مشترك \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \).
بما أن \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \)، فالمتسلسلة متقاربة.
مع الحد الأول \( a = 4 \)، المجموع هو:
\[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
إعادة كتابة المتسلسلة:
\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \]
الحد الأول \( a = 9 \)، الأساس المشترك \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \). المتسلسلة متقاربة:
\[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
إعادة كتابة المتسلسلة:
\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \]
الأساس المشترك هو \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \)، ومن ثم فالمتسلسلة متباعدة.

المتسلسلات الحسابية متباعدة

تُعطى المتسلسلة الحسابية كالتالي:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] المجموع الجزئي \( S_n \) هو: \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] بما أن \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \)، فإن جميع المتسلسلات الحسابية متباعدة.

نظرية تركيب المتسلسلات المتقاربة

إذا كانت \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \) و \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \) متسلسلات متقاربة، و \( k_1, k_2 \) أعداداً حقيقية، فإن أي تركيبة خطية تكون متقاربة:

\[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

مثال 4

احسب، إن أمكن، المتسلسلات التالية:

\( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
\( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
\( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

حلول المثال 4

المتسلسلة الأولى: \( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \).
المتسلسلة الثانية: \( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \).
المجموع = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \).
المتسلسلة الأولى: \( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \).
المتسلسلة الثانية: \( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \).
المجموع الكلي = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \).
إعادة الكتابة كتركيبة من المتسلسلات الهندسية:
\[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \]
حساب كل مجموع:
\[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]