لـ جمع وطرح تعبيرات الجذور، يجب عليك تحديد الجذور "المتشابهة". هذه العملية مطابقة تماماً لدمج الحدود المتشابهة في جبر كثيرات الحدود.
هل تحتاج إلى مراجعة الأساسيات؟ ابدأ بـ مقدمة في الجذور.
تعريف الجذور المتشابهة
تُعتبر تعبيرات الجذور متشابهة فقط إذا كانت تملك نفس دليل الجذر ونفس ما تحت الجذر تماماً.
- \( 6 \sqrt[3]{5} \) و \( -5 \sqrt[3]{5} \) هما متشابهان (الدليل: 3، ما تحت الجذر: 5).
- \( 7 \sqrt[3]{8} \) و \( -5 \sqrt[3]{9} \) ليسا متشابهين (ما تحت الجذر 8 و 9 مختلفان).
- \( 3 \sqrt{2x} \) و \( -5 \sqrt{2x} \) هما متشابهان (الدليل: 2، ما تحت الجذر: \(2x\)).
أمثلة أساسية على الجمع والطرح
يمكن جمع أو طرح الجذور المتشابهة فقط عن طريق إخراج الجذر المشترك كعامل مشترك وجمع معاملاتها.
المثال 1: \( 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \)
\[ 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \]
المثال 2: \( 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \)
\[ 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \]
المثال 3: \( -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \)
\[ \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \]
المثال 4: \( -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \)
\[ \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]
تحويل الجذور غير المتشابهة
عندما تختلف ما تحت الجذور، قم بتبسيطها أولاً عن طريق إخراج المربعات (أو المكعبات) الكاملة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تحويلها إلى جذور متشابهة.
المثال 5: \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \)
\[ 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
المثال 6: \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
التحليل إلى عوامل أولية لـ 12 و 108: \(12 = 2^2 \cdot 3\) و \(108 = 2^2 \cdot 3^3\).
\[ -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} \]
\[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]
المثال 7: \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \)
\[ \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]
أسئلة تدريبية مع الحلول
السؤال 1: \( -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
\[ (-2+4)\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]
السؤال 2: \( 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
\[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 = 20\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]
السؤال 3: \( -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
تبسيط: \(32 = 2 \cdot 16\)، \(50 = 2 \cdot 25\)، \(200 = 2 \cdot 100\).
\[ -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]
السؤال 4: \( -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
\[ -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} = \sqrt{7}\left(-\frac{2}{3} + \frac{9}{5}\right) = \frac{17}{15}\sqrt{7} \]
السؤال 5: \( 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
\[ 2|x|\sqrt{3} - 5(2|x|\sqrt{3}) = -8|x|\sqrt{3} \]
السؤال 6: \( (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)
\[ (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2 = (-26\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]