المتتاليات والسلاسل الحسابية والهندسية

صيغ مفصلة، تعريفات، وحلول خطوة بخطوة

المتتالية هي قائمة مرتبة من الأعداد. المتتالية الحسابية لها فرق مشترك، بينما المتتالية الهندسية لها نسبة مشتركة. السلسلة هي مجموع حدود المتتالية.

التعريفات والصيغ الأساسية

حسابية (خطية)

الفرق المشترك (d): \( d = a_{n} - a_{n-1} \)

الحد النوني:

\[ a_n = a + (n-1)d \]

مجموع \( n \) من الحدود (\( S_n \)):

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]
\[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]

هندسية (أسية)

النسبة المشتركة (r): \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)

الحد النوني:

\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]

مجموع \( n \) من الحدود (\( S_n \)):

\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]

السلسلة الهندسية اللانهائية

السلسلة الهندسية اللانهائية لها مجموع منتهٍ (متقاربة) فقط إذا كانت النسبة المشتركة تحقق \( |r| < 1 \). إذا كانت \( |r| \ge 1 \)، فإن السلسلة متباعدة وليس لها مجموع.

المجموع إلى المالانهاية (\( S_{\infty} \)):

\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]

أسئلة: الحد النوني

السؤال 1 (حسابية): أوجد الحد الخامس عشر للمتتالية الحسابية: \( 10, 6, 2, -2, \dots \)

عرض الحل

حدد الحد الأول \( a = 10 \) والفرق المشترك \( d = 6 - 10 = -4 \).

\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \]
\[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]

السؤال 2 (هندسية): أوجد الحد الثامن للمتتالية الهندسية: \( 5, 10, 20, 40, \dots \)

عرض الحل

حدد \( a = 5 \) و \( r = 10/5 = 2 \). حل لإيجاد \( a_8 \):

\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \]
\[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]

السؤال 3 (تحدي): في متتالية حسابية، \( a_3 = 13 \) و \( a_9 = 37 \). أوجد الحد الأول \( a \) والفرق المشترك \( d \).

عرض الحل

ضع معادلتين باستخدام \( a_n = a + (n-1)d \):

(1) \( a + 2d = 13 \)

(2) \( a + 8d = 37 \)

اطرح (1) من (2): \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).

عوض عن \( d=4 \) في (1): \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).

أسئلة: مجموع السلسلة (المنتهية)

السؤال 4 (مجموع حسابي): أوجد مجموع أول 50 عدداً صحيحاً زوجياً موجباً.

عرض الحل

المتتالية هي \( 2, 4, 6, \dots \)، إذن \( a = 2 \)، و \( d = 2 \)، و \( n = 50 \).

\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \]
\[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]

السؤال 5 (مجموع هندسي): أوجد مجموع أول 6 حدود من السلسلة الهندسية: \( 3, -6, 12, -24, \dots \)

عرض الحل

حدد \( a = 3 \)، و \( r = -2 \)، و \( n = 6 \):

\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \]
\[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]

السؤال 6 (تحدي): أوجد مجموع جميع مضاعفات العدد 7 المكونة من ثلاثة أرقام.

عرض الحل

المضاعف الأول \( a = 105 \). المضاعف الأخير \( a_n = 994 \). الفرق المشترك \( d = 7 \).

أوجد \( n \): \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).

أوجد المجموع: \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]

أسئلة: السلسلة اللانهائية

السؤال 7: حدد مجموع السلسلة اللانهائية: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)

عرض الحل

حدد \( a = 1 \) و \( r = 0.5 \). بما أن \( |0.5| < 1 \)، فإن السلسلة متقاربة:

\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2 \]

السؤال 8: سلسلة هندسية لانهائية مجموعها 20 وحدها الأول 5. أوجد النسبة المشتركة \( r \).

عرض الحل
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \Rightarrow 20 = \frac{5}{1 - r} \]
\[ 20(1 - r) = 5 \Rightarrow 1 - r = 0.25 \Rightarrow r = 0.75 \]

واصل تعلمك