تحليل كثيرات الحدود بالتجميع

أسئلة، دروس، وحلول خطوة بخطوة

التحليل بالتجميع هو تقنية تُستخدم عندما تحتوي كثيرة الحدود على أربعة حدود أو أكثر ولا يوجد عامل مشترك لجميعها. من خلال تقسيم التعبير إلى مجموعات أصغر، يمكننا غالباً إيجاد عامل ثنائي الحد مشترك.

أمثلة محلولة

السؤال 1: كثيرة حدود رباعية الحدود

حلل كثيرة الحدود التالية تحليلاً كاملاً: \[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 \]

عرض الحل

1. جمّع أول حدين وأخرج $4x$ كعامل مشترك:
\[ 4x^2 + 4x = 4x(x + 1) \]

2. جمّع آخر حدين وأخرج $3$ كعامل مشترك:
\[ 3x + 3 = 3(x + 1) \]

3. أعد الكتابة وأخرج العامل ثنائي الحد المشترك $(x + 1)$:
\[ 4x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(4x + 3) \]

السؤال 2: التجميع بمتغيرات متعددة

حلل: \[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y \]

عرض الحل

1. جمّع الحدود التي تحتوي على $x$: \( 2x^2 - 4x = 2x(x - 2) \)

2. جمّع الحدود التي تحتوي على $y$: \( 3xy - 6y = 3y(x - 2) \)

3. اجمع: \[ 2x(x - 2) + 3y(x - 2) = (x - 2)(2x + 3y) \]

السؤال 3: إعادة كتابة ثلاثة حدود للتجميع

حلل تحليلاً كاملاً: \[ 3x^2 + 4x + 1 \]

عرض الحل

نظراً لوجود ثلاثة حدود فقط، نقسم الحد الأوسط $4x$ إلى $3x + x$ لتمكين التجميع:

\[ 3x^2 + 3x + x + 1 \]

الآن جمّع وحلل:

\[ (3x^2 + 3x) + (x + 1) = 3x(x + 1) + 1(x + 1) \]
\[ = (x + 1)(3x + 1) \]

أسئلة تدريبية

استخدم التجميع لتحليل كثيرات الحدود التالية تحليلاً كاملاً.

التدريب أ: \( x^2 + 3x - 2x - 6 \)

عرض الحل
\[ x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 2) \]

التحقق الرسومي: تقاطعات المحور السيني للرسم البياني $y = x^2 + 3x - 2x - 6$ تتوافق مع الجذور $x = -3$ و $x = 2$.

رسم بياني للتحقق من تحليل كثيرة الحدود

التدريب ب: \( 4x^2 + x - 3 \)

عرض الحل

أعد كتابة $x$ كـ $4x - 3x$:

\[ 4x^2 + 4x - 3x - 3 = 4x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(4x - 3) \]

التدريب ج: \( x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy \)

عرض الحل

أولاً، أخرج $x$ المشترك كعامل من جميع الحدود:

\[ x(xy + 3 + xy^2 + 3y) \]

الآن جمّع داخل الأقواس:

\[ x[xy(1 + y) + 3(1 + y)] = x(1 + y)(xy + 3) \]

التدريب د: \( 3x^2 + 3xy - x + 2y - 2 \)

عرض الحل

أعد كتابة $-x$ كـ $-3x + 2x$ لإنشاء ستة حدود:

\[ 3x^2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 \]

جمّع أول ثلاثة حدود وآخر ثلاثة حدود:

\[ 3x(x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2) \]

المزيد من المراجع