تحليل كثيرات الحدود الخاصة

متطابقات، أمثلة محلولة، وحلول خطوة بخطوة

توفر الصيغ الخاصة لكثيرات الحدود—مثل فرق المربعين، وثلاثيات الحدود المربعة الكاملة، ومجموع أو فرق المكعبين—طرقاً مختصرة لتحليل التعبيرات الجبرية المعقدة. التعرف على هذه الأنماط ضروري لحل المسائل بكفاءة.

متطابقات جبرية رئيسية

1. فرق المربعين

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

2. ثلاثيات الحدود المربعة الكاملة

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]

3. فرق ومجموع المكعبين

\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

أمثلة محلولة

المثال 1: فرق المربعين

حلل كثيرة الحدود: \[ 16x^2 - 9y^2 \]

عرض الحل

أعد كتابة الحدود كمربعات: \( 16x^2 = (4x)^2 \) و \( 9y^2 = (3y)^2 \).

\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]

طبق \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]

المثال 2: ثلاثية حدود مربعة كاملة

حلل: \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]

عرض الحل

حدد المربعات والحد الأوسط: \( (2x)^2 \)، \( (5y)^2 \)، و \( 2(2x)(5y) = 20xy \).

\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]

طبق \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \):

\[ = (2x + 5y)^2 \]

المثال 3: فرق المكعبين

حلل: \[ 8 - 27x^3 \]

عرض الحل

أعد الكتابة كمكعبات: \( 8 = 2^3 \) و \( 27x^3 = (3x)^3 \).

\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]

طبق \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \):

\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \]
\[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]

أسئلة تدريبية

حلل كثيرات الحدود الخاصة التالية تحليلاً كاملاً.

التدريب أ: \( -25x^2 + 9 \)

عرض الحل

أعد الترتيب كفرق بين مربعين: \( 9 - 25x^2 \).

\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]

التدريب ب: \( 16y^4 - x^4 \)

عرض الحل

حلل كفرق بين مربعين مرتين:

\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]

حلل فرق المربعين المتبقي:

\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]

التدريب ج: \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)

عرض الحل

أخرج \( 1/2 \) كعامل مشترك:

\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]

تعرف على ثلاثية الحدود المربعة الكاملة:

\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]

التدريب د: \( x^6 - 1 \)

عرض الحل

تعامل معها كفرق بين مربعين: \( (x^3)^2 - 1^2 \).

\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]

طبق صيغتي فرق ومجموع المكعبين:

\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]

واصل تعلمك