إيجاد الدوال التربيعية بمعلومية رسومها البيانية

1. حدد الرأس من الرسم البياني: $(h, k) = (0, 2)$.

2. اكتب الدالة بصيغة الرأس: \[ f(x) = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]

3. استخدم النقطة $(1, 3)$ لحل المعادلة وإيجاد قيمة $a$: \[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]

الدالة النهائية: \[ f(x) = x^2 + 2 \]

1. الرأس: $(0, -1)$. صيغة الرأس: $g(x) = ax^2 - 1$.

2. استخدم النقطة $(1, -2)$: \[ a(1)^2 - 1 = -2 \Rightarrow a = -1 \]

3. المعادلة: $g(x) = -x^2 - 1$.

4. احسب قيمة $g(-3)$: \[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]

1. الرأس $(2, 1) \Rightarrow l(x) = a(x - 2)^2 + 1$.

2. استخدم نقطة التقاطع الصادية $(0, -7)$: \[ a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \]

3. أوجد نقاط التقاطع السينية (بوضع $l(x) = 0$): \[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1/2 \]

1. استخدم الصيغة المحللة مع نقطتي التقاطع $(-1, 0)$ و $(2, 0)$: \[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

2. استخدم نقطة التقاطع الصادية $(0, -4)$: \[ a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2 \]

3. الصيغة القياسية: \[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]

1. صيغة الرأس: $m(x) = a(x + 3)^2 + k$.

2. أنشئ نظاماً من المعادلات باستخدام النقطتين $(-5, 0)$ و $(-2, -1.5)$:

3. بطرح المعادلتين: $3a = 1.5 \Rightarrow a = 0.5$. ثم $k = -2$.

4. الصيغة القياسية: \[ m(x) = 0.5(x + 3)^2 - 2 = 0.5x^2 + 3x + 2.5 \]

باستخدام $w(x) = ax^2 + bx + c$:

• النقطة $(0, -1/6) \Rightarrow c = -1/6$.
• النقطة $(1, 0) \Rightarrow a + b - 1/6 = 0 \Rightarrow a + b = 1/6$.
• النقطة $(3, 10/3) \Rightarrow 9a + 3b - 1/6 = 10/3 \Rightarrow 9a + 3b = 7/2$.

بحل النظام: $a = 1/2, b = -1/3$.

الدالة النهائية: \[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]