جمع وطرح وتبسيط التعبيرات النسبية
أمثلة مع الحلول

توفر هذه الصفحة حلولاً مفصلة خطوة بخطوة لمسائل جمع وطرح وتبسيط التعبيرات النسبية. ستجد شروحات واضحة، وأمثلة أساسية، ومسائل تمرينية متقدمة مصممة لمساعدة الطلاب والمعلمين على إتقان هذا الموضوع الجبري.

تلميح: يمكنك استخدام حاسبة تبسيط التعبيرات النسبية للتحقق من نتائجك!

قواعد الجمع والطرح

يتم إجراء جمع وطرح وتبسيط التعبيرات النسبية بنفس طريقة جمع وطرح الكسور العددية تماماً. هناك حالتان رئيسيتان:

الحالة 1: نفس المقام
إذا كانت التعبيرات النسبية لها نفس المقام بالفعل، ما عليك سوى جمع أو طرح البسوط والحفاظ على المقام كما هو.

\[ \frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C} \]

الحالة 2: مقامات مختلفة
إذا كانت التعبيرات ذات مقامات مختلفة، يجب عليك أولاً إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لتحويلها إلى مقام مشترك قبل دمج البسوط.

أمثلة تمهيدية

المثال 1: نفس المقام

اطرح وبسط:

\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} \]

عرض الحل

الكسران لهما نفس المقام، لذا نطرح البسوط مباشرة:

\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3} \]

المثال 2: مقامات مختلفة

اطرح وبسط:

\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} \]

عرض الحل

للكسرين مقامات مختلفة، لذا نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للعددين 5 و 10.

  • مضاعفات العدد 5: 5، 10، 15...
  • مضاعفات العدد 10: 10، 20، 30...

نحول الكسرين إلى المقام المشترك 10:

\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} \]

الآن نبسط:

\[ = \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2} \]

المثال 3: تعبيرات نسبية نفس المقام

اطرح وبسط:

\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} \]

عرض الحل

التعبيران النسبيان لهما نفس المقام، لذا نطرح البسوط ونحافظ على نفس المقام:

\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2} \]

بسط البسط:

\[ = \dfrac{-x-2}{x+2} \]

أخرج عاملًا مشتركًا $-1$ من البسط واختصر العامل المشترك:

\[ = \dfrac{-(x+2)}{x+2} = -1 \quad \text{لكل } x \neq -2 \]

مسائل تمرينية متقدمة مع حلول خطوة بخطوة

للمسائل التالية، ستحتاج إلى معرفة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للتعبيرات (LCM).

السؤال 1 - كسور بمقامات مختلفة

احسب:

\[ \frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24} \]

عرض الحل

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامات 6 و 18 و 24.

  • 6: 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48، 54، 60، 66، 72...
  • 18: 18، 36، 54، 72...
  • 24: 24، 48، 72...

حول المقامات الثلاثة إلى المقام المشترك 72:

\[ \frac{7 \times \color{red}{12}}{6 \times \color{red}{12}} + \frac{1 \times \color{red}{4}}{18 \times \color{red}{4}} - \frac{5 \times \color{red}{3}}{24 \times \color{red}{3}} \]
\[ = \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72} \]

السؤال 2 - جمع التعبيرات النسبية

بسط:

\[ \frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2} \]

عرض الحل

المقامان $(x + 5)$ و $(x + 2)$ ليس بينهما عوامل مشتركة، وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما هو:

\[ \text{LCM} = (x + 5)(x + 2) \]

أعد كتابة التعبيرات النسبية بالمقام المشترك:

\[ \frac{(x+3)\color{red}{(x+2)}}{(x+5)\color{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\color{red}{(x+5)}}{(x+2)\color{red}{(x+5)}} \]
\[ = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)} \]

فك الأقواس، وبسط، وحلل البسط إن أمكن:

\[ = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)} \]
\[ = \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)} \]

السؤال 3 - جمع تعبير نسبي وتعبير صحيح

بسط:

\[ \frac{-3}{x-4} + x + 4 \]

عرض الحل

لجمع تعبير نسبي مع تعبير ليس له مقام، اضرب التعبير الصحيح في المقام المشترك مقسوماً على نفسه:

\[ \frac{-3}{x-4} + (x+4) \cdot \frac{\color{red}{x-4}}{\color{red}{x-4}} \]

التعبيران أصبح لهما نفس المقام ويتم جمعهما كالتالي:

\[ = \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{-3 + x^2 - 16}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4} \]

السؤال 4 - طرح تعبيرات نسبية ذات مقامات تربيعية

بسط:

\[ \frac{x-4}{x^2 - 3x + 2} - \frac{x+5}{x^2 + 2x - 3} \]

عرض الحل

حلل المقامات تماماً لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM):

\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]
\[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) \]
\[ \text{LCM} = (x - 1)(x - 2)(x + 3) \]

أعد كتابة التعبيرات بالإضافة للمقام المشترك:

\[ \frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{\color{red}{x+3}}{\color{red}{x+3}} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x-2}} \]
\[ = \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)} \]

اطرح البسوط، وفك الأقواس، وبسط:

\[ = \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)} \]
\[ = \frac{(x^2 - x - 12) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)} \]

السؤال 5 - تبسيط التعبيرات النسبية أولاً

بسط:

\[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18} \]

عرض الحل

أعد كتابة التعبير المعطى بحيث يكون البسط والمقام في الصورة المحللة واختصر العوامل المشتركة أولاً:

\[ \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3} \]

المقامان الجديدان $(x + 1)$ و $(x + 3)$ ليس بينهما عوامل مشتركة، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما هو $(x + 1)(x + 3)$. أعد الكتابة بالمقام المشترك:

\[ = \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} \]

فك الأقواس وبسط:

\[ = \frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 1)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)} \]

السؤال 6 - جمع ثلاثة تعبيرات نسبية

بسط:

\[ \frac{2}{2x - 1} + \frac{x + 8}{2x^2 + 9x - 5} - \frac{5}{2x + 10} \]

عرض الحل

حلل المقامات الثلاثة تماماً لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM):

\[ 2x - 1 = 2x - 1 \]
\[ 2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5) \]
\[ 2x + 10 = 2(x + 5) \]
\[ \text{LCM} = 2(2x - 1)(x + 5) \]

أعد كتابة التعبيرات النسبية بالمقام المشترك:

\[ \frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}{2(x+5)}}{\color{red}{2(x+5)}} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{(2x-1)}}{\color{red}{(2x-1)}} \]

اجمع البسوط وبسط:

\[ = \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)} \]
\[ = \frac{4x + 20 + 2x + 16 - 10x + 5}{2(2x-1)(x+5)} \]
\[ = \frac{-4x + 41}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)} \]

السؤال 7 - تعبيرات نسبية ذات متغيرين

بسط:

\[ \frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)} + \frac{x}{2x-2} \]

عرض الحل

حلل المقامين تماماً لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM):

\[ y(xy - y + 3x - 3) = y(y(x - 1) + 3(x - 1)) = y(x - 1)(y + 3) \]
\[ 2x - 2 = 2(x - 1) \]
\[ \text{LCM} = 2y(x - 1)(y + 3) \]

أعد كتابة التعبيرات بالمقام المشترك:

\[ \frac{y-2}{y(x-1)(y+3)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} + \frac{x}{2(x-1)} \cdot \frac{\color{red}{y(y+3)}}{\color{red}{y(y+3)}} \]
\[ = \frac{2(y-2) + xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)} \]

فك الأقواس وبسط:

\[ = \frac{2y - 4 + xy^2 + 3xy}{2y(x-1)(y+3)} = \frac{xy^2 + 3xy + 2y - 4}{2y(x-1)(y+3)} \]

المزيد من المراجع والروابط