تُعد الدوال اللوغاريتمية والأسية أساسية في الجبر. ولأنها دوال معكوسة، يمكننا حل المعادلات المعقدة عن طريق التحويل بين صورها. يقدم هذا الدليل قواعد مراجعة شاملة ومسائل تمرينية محلولة لطلاب رياضيات الصف الحادي عشر.
التعبيرات اللوغاريتمية والأسية متطابقة:
حيث \( b > 0 \)، \( b \neq 1 \)، و \( x > 0 \).
أ) \( \log_x(a) = c \)
ب) \( \log_b(2x + 1) = 3 \)
باستخدام \( \log_b(x) = y \iff x = b^y \):
أ) \( \mathbf{a = x^c} \)
ب) \( \mathbf{2x + 1 = b^3} \)
أ) \( 3^x = m \)
ب) \( x^2 = a \)
باستخدام \( x = b^y \iff y = \log_b(x) \):
أ) \( \mathbf{x = \log_3(m)} \)
ب) \( \mathbf{2 = \log_x(a)} \)
أوجد قيمة: أ) \( \log_2(16) \) | ب) \( \log_3(27) \) | ج) \( \log_{25}(5) \)
أ) ليكن \( y = \log_2(16) \implies 2^y = 16 \). بما أن \( 16 = 2^4 \)، إذن \( y = \mathbf{4} \).
ب) ليكن \( y = \log_3(27) \implies 3^y = 27 \). بما أن \( 27 = 3^3 \)، إذن \( y = \mathbf{3} \).
ج) ليكن \( y = \log_{25}(5) \implies 25^y = 5 \). بما أن \( 5 = \sqrt{25} = 25^{1/2} \)، إذن \( y = \mathbf{1/2} \).
حل المعادلة بالنسبة لـ \( x \): \( \log_2(3x + 1) = 4 \)
التحويل إلى الصورة الأسية:
حل المعادلة بالنسبة لـ \( x \): \( \log_4 \frac{x+1}{2x-1} = 0 \)
التحويل إلى الصورة الأسية:
حل المعادلة بالنسبة لـ \( x \): \( 4^{2x+1} = 16 \)
كتابة الطرفين بنفس الاساس 4:
مساواة الأسس:
حل المعادلة: \( 2^{2x} - 6(2^x) = -8 \)
لاحظ أن \( 2^{2x} = (2^x)^2 \). نضع \( u = 2^x \):
تحليل المعادلة التربيعية:
التعويض العكسي لإيجاد \( x \):
استكشف المزيد من أسئلة اللوغاريتمات للصف الثاني عشر أو قم بزيارة مركز رياضيات المرحلة الثانوية.