أسئلة وأجوبة اللوغاريتمات والأسس مع الحلول - الصف الثاني عشر

الخطوة 1: أعِد كتابة المعادلة بحيث يكون للطرفين نفس الأساس. نعلم أن أي عدد لا يساوي صفراً مرفوعاً للقوة $0$ يساوي $1$:

الخطوة 2: ساوي الأسس:

الخطوة 3: حل بالنسبة لـ $x$:

الإجابة النهائية: $x = -\dfrac{1}{2}$

الخطوة 1: اقسم جميع الحدود في المعادلة المعطاة على $x y$ (بفرض أن $x \neq 0$ و $y \neq 0$):

الخطوة 2: بسّط الأسس باستخدام قواعد القسمة:

الخطوة 3: خذ اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لكلا الطرفين لعزل الأس الذي يحتوي على $m$:

الخطوة 4: طبق قاعدة قوة اللوغاريتم ($\ln(A^n) = n \ln A$):

الخطوة 5: حل بالنسبة لـ $m$ (بفرض أن $\ln y \neq 0$، مما يعني $y \neq 1$):

الخطوة 1: استخدم قاعدة ضرب اللوغاريتمات لفك $\log_4(10)$:

الخطوة 2: بسّط الحد الأول:

الخطوة 3: استخدم صيغة تغيير الأساس على الحد الثاني لربطه بالأساس 8 المعطى:

الخطوة 4: عوض بالقيمة المعطاة $b$ وبسّط $\log_8(4)$:
نعلُم أن $\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$ (لأن $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$).

الخطوة 5: اجمع الأجزاء معاً:

الخطوة 1: بسّط الحد الأول بمعرفة أن $216 = 6^3$:

الخطوة 2: استخدم قواعد قسمة اللوغاريتمات لتبسيط بسط الكسر:

الخطوة 3: أعِد كتابة المقام باستخدام الأسس:

الخطوة 4: ادمج كل شيء في التعبير الأصلي:

الخطوة 5: اختصر $\log(7)$ واحسب الناتج النهائي:

الخطوة 1: حول الأسس السالبة إلى كسور داخل الأقواس:

الخطوة 2: أوجد مقاماً مشتركاً لطرح الكسور في البسط:

الخطوة 3: عوض مرة أخرى وبسّط الكسر المركب:

الخطوة 4: اختصر الكسر وطبق الجذر التكعيبي (القوة $1/3$):

الخطوة 1: استخدم صيغة تغيير الأساس على الحد الثاني لكتابته بالأساس $x$:

الخطوة 2: عوض بذلك في التعبير الأصلي:

الخطوة 3: اختصر الحد المشترك $\log_x a$ (بفرض أن $a \neq 1, x \neq 1$):

الخطوة 1: عوض بالإحداثيات $(x=e, y=2)$ في المعادلة:

الخطوة 2: أعِد كتابة المعادلة اللوغاريتمية في صورتها الأسية:

الخطوة 3: اعزل $a$. خذ الجذر التربيعي (بما أن أساسات اللوغاريتمات يجب أن تكون موجبة، فإننا نأخذ الجذر الموجب فقط):

الخطوة 1: استخدم صيغة تغيير الأساس (تحويل كلا اللوغاريتمين إلى اللوغاريتم الطبيعي) لإعادة كتابة المعادلة:

الخطوة 2: بما أن $x > 0$ ونفترض أن $x \neq 1$ لحل مطابقة عامة، فإن $\ln x \neq 0$. اقسم الطرفين على $\ln x$:

الخطوة 3: اضرب الطرفين في $\ln 5$ لإيجاد قيمة $A$:

الخطوة 1: ابدأ من اللوغاريتم الخارجي (الأساس 10) وأعِد كتابته في الصورة الأسية:

الخطوة 2: افعل ذلك مرة أخرى للوغاريتم الخارجي التالي (الأساس 10):

الخطوة 3: اعزل حد اللوغاريتم المتبقي:

الخطوة 4: أعِد الكتابة في الصورة الأسية (الأساس 2):

الخطوة 5: حل بالنسبة لـ $x$:

التحقق: تعويض 255 مرة أخرى يعطي ما بداخلي لوغاريتمات موجبة لجميع اللوغاريتمات، لذا فالإجابة صحيحة.

الخطوة 1: ركّز على تبسيط الحد الأسي. استخدم قاعدة قوة القوة بشكل عكسي: $a^{bc} = (a^b)^c$.

الخطوة 2: استخدم خاصية العكس $b^{\log_b x} = x$ للتبسيط:

الخطوة 3: عوض بذلك مرة أخرى في المعادلة الأصلية:

الخطوة 4: بسّط وحل بالنسبة لـ $x$:

الخطوة 1: تحديد المجال.
يجب أن تكون جميع ما بداخل اللوغاريتمات موجبة تماماً:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
تقاطع هذه الشروط هو $x > 1$. لذلك، المجال هو $(1, \infty)$.

الخطوة 2: استخدم قواعد القوة والضرب للوغاريتمات لدمج الطرفين:

الخطوة 3: بما أن اللوغاريتم الطبيعي تقابلي (واحد لواحد)، يمكننا حذف اللوغاريتمات ومساواة ما بداخلهما:

الخطوة 4: فك الطرفين:

الخطوة 5: تجميع الحدود وحل المعادلة التربيعية:

الحلول: $x = 0$ و $x = 5$.

الخطوة 6: التحقق مقابل المجال.
$x = 0$ ليست أكبر من 1، لذا فهي تنتج ما بداخله سالباً (حل دخيل). فقط $x = 5$ يقع ضمن المجال.
الإجابة النهائية: $x = 5$

الخطوة 1: تحديد المجال.
داخل الجذر التربيعي: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
داخل اللوغاريتم: $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
المجال هو $x > 5$.

الخطوة 2: تحدث نقطة التقاطع مع محور x عندما $y = 0$:

الخطوة 3: اقسم على 2 وأعِد الكتابة في الصورة الأسية (الأساس 10):

الخطوة 4: اعزل الجذر التربيعي وحل بالنسبة لـ $x$:

الخطوة 5: التحقق.
$x = 10$ أكبر تماماً من 5، لذا فهو في المجال.
الإجابة النهائية: نقطة التقاطع مع محور x تقع عند $(10, 0)$.

الخطوة 1: لاحظ أن هذه معادلة تربيعية متخفية. أعِد كتابة $9^x$ بدلالة الأساس 3:

إذن تصبح المعادلة:

الخطوة 2: لتكن $y = 3^x$ وأعِد كتابة المعادلة:

الخطوة 3: حل بالنسبة لـ $y$ باستخدام القانون العام ($a=1, b=-1, c=-8$):

الخطوة 4: عوض مرة أخرى بـ $y = 3^x$. بما أن الدالة الأسية $3^x$ يجب أن تكون موجبة تماماً، يجب علينا رفض الجذر السالب $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$.

الخطوة 5: خذ اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لكلا الطرفين لحل $x$:

الخطوة 1: خذ اللوغاريتم الطبيعي ($\ln$) لكلا الطرفين:

الخطوة 2: أنزل الأسس باستخدام قاعدة القوة:

الخطوة 3: فك الطرفين:

الخطوة 4: تجميع الحدود التي تحتوي على $x$ في طرف والثوابت في الطرف الآخر:

الخطوة 5: أخرج $x$ كعامل مشترك وحل:

الخطوة 6 (اختياري): دمج اللوغاريتم للحصول على إجابة نهائية أنظف:
البسط: $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. ملاحظة: $1296 = 6^4$، إذن هذا يساوي $4\ln(6)$.
المقام: $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$.

الخطوة 1: أعِد كتابة المعادلة اللوغاريتمية في صورتها الأسية:

الخطوة 2: لعزل $x$، ارفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة المقلوب، $-\dfrac{4}{3}$:

الخطوة 3: بسّط الطرف الأيمن. الأس السالب يقلب الكسر:

الخطوة 4: احسب قيمة $8^{4/3}$ (الجذر التكعيبي أولاً، ثم القوة الرابعة):

الإجابة النهائية: $x = 16$