مسائل رياضيات الصف الحادي عشر في حساب المثلثات مع الحلول

تمرين على المسائل الكلامية، المتطابقات، ومفاهيم دائرة الوحدة

تُعرض هنا مسائل وأسئلة حساب المثلثات للصف الحادي عشر جنباً إلى جنب مع حلولها المفصلة خطوة بخطوة. استخدم هذه الأمثلة للتمرين على المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا الارتفاع والانخفاض، والمتطابقات المثلثية، ودوال الجيب المنزاحة، ودائرة الوحدة، وقانوني الجيب وجيب التمام.

تطبيقات من الواقع

السؤال 1: عجلة فيريس

عجلة فيريس نصف قطرها 25 متراً تقوم بدورة كاملة كل 36 ثانية. في أسفل الرحلة، يكون الراكب على ارتفاع متر واحد فوق سطح الأرض.

أ) ليكن \( h \) ارتفاع الراكب فوق سطح الأرض. حدد \( h \) كدالة في الزمن إذا كان \( h = 51 \) متراً عند \( t = 0 \).

ب) أوجد الارتفاع \( h \) بعد 45 ثانية.

عرض الحل

أ) ليكن \( P \) موضع الراكب (انظر الشكل أدناه).

مسألة عجلة فيريس توضح موضع الراكب وزاوية الدوران.

ارتفاع \( h \) للراكب يُعطى بالصيغة:

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

هنا، \( y \) يعتمد على زاوية الدوران \( A \). باستخدام حساب المثلثات، نكتب:

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{radius}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

الزاوية \( A \) تعتمد على السرعة الزاوية \( \omega \) كالتالي: \( A = \omega t \).

السرعة الزاوية \( \omega \) تُعطى بـ:

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ راديان/ثانية} \]

بالتعويض في تعبير الارتفاع، نجد:

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

حيث \( t \) بالثواني والارتفاع بالأمتار.

ب) لإيجاد الارتفاع عند \( t = 45 \) ثانية:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]
\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ متراً}} \]

السؤال 2: زاوية الارتفاع

تقيس ليندا زاوية الارتفاع من نقطة على الأرض إلى قمة شجرة فتجدها \( 35^{\circ} \). ثم تمشي مسافة 20 متراً نحو الشجرة وتجد زاوية الارتفاع من هذه النقطة الجديدة إلى قمة الشجرة \( 45^{\circ} \). أوجد ارتفاع الشجرة. (قرب الإجابة إلى ثلاثة أرقام معنوية)

عرض الحل

باستخدام الشكل أدناه،

حل مسألة ارتفاع الشجرة بحساب المثلثات

نكتب المعادلات التالية بناءً على المثلثات القائمة المكونة:

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{و} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

حيث \( h \) هو ارتفاع الشجرة. بحل المعادلتين بالنسبة لـ \( x \)، نحصل على:

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{و} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

مساواة التعبيرين لـ \( x \):

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

حل المعادلة بالنسبة لـ \( h \):

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46.7 \text{ متراً}} \]

السؤال 3: زاوية الانخفاض

من قمة جرف ارتفاعه 200 متر، زوايتا انخفاض قاربين صيد على خط رؤية واحد في الماء هما \( 13^{\circ} \) و \( 15^{\circ} \). ما هي المسافة الفاصلة بين القاربين؟ (قرب إجابتك إلى 4 أرقام معنوية)

عرض الحل

باستخدام الشكل أدناه، نكتب المعادلات التالية بناءً على العلاقات المثلثية:

مخطط حل مسألة القارب يوضح زوايا الارتفاع من نقطتين.
\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{و} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

حذف \( y \) من المعادلتين وحل المعادلة بالنسبة لـ \( x \):

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119.9 \text{ متراً}} \]

السؤال 4: تروس متصلة

ترسان متصلان. الترس الأصغر نصف قطره 4 بوصات، والترس الأكبر نصف قطره 10 بوصات. يدور الترس الأصغر بزاوية \( 890^{\circ} \) خلال 4 ثوانٍ. ما هي السرعة الزاوية للترس الأكبر، بالدرجات لكل دقيقة؟

عرض الحل

ليكن \( R_1 \) و \( R_2 \) نصفي قطري الترس 1 والترس 2. وليكن \( t_1 \) و \( t_2 \) قوسا دوران الترسين 1 و 2 على التوالي. بما أن التروس المتصلة لها سرعة مماسية متساوية (مُقاسة بالبوصة في الثانية)، فإن القوسين \( S_1 \) و \( S_2 \) متساويان في الطول.

حل مسألة التروس
\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

هنا، \( t_1 \) و \( t_2 \) هما زاويتا دوران الترسين الأكبر والأصغر على التوالي.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]
\[ t_1 = 356^\circ \]

تُحسب السرعة الزاوية كالتالي:

\[ \text{السرعة الزاوية} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ ثوانٍ}} = 89^\circ \text{ لكل ثانية} \]
\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ لكل دقيقة}} \]

السؤال 5: سلم منزلق

سلم طوله 20 متراً يستند إلى جدار. قاعدة السلم على بعد \( x \) متراً من قاعدة الجدار والزاوية التي يصنعها الجدار مع السلم هي \( t \).

أ) أوجد \( x \) بدلالة \( t \).

ب) بدءاً من \( t = 0 \) (السلم بأكمله ضد الجدار) ثم زيادة الزاوية \( t \) تدريجياً؛ ما هو قياس الزاوية \( t \) الذي يجعل \( x \) مساوياً لربع طول السلم؟

عرض الحل

يشكل السلم والجدار والأرض مثلثاً قائماً. إذن،

أ) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) أو \( x = 20 \sin(t) \)

ب) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

عوض في المعادلة: \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

حل المعادلة بالنسبة لـ \( t \):

\[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14.48^\circ} \]

المتطابقات والقيم الدقيقة

السؤال 6: إثبات متطابقة

أثبت أن:

\[ \left( \cos(x) - \sin(x) \right) \left( \cos(2x) - \sin(2x) \right) = \cos(x) - \sin(3x) \]

عرض الحل

ابدأ بالطرف الأيمن:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

انشر \( \sin(x + 2x) \):

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

الآن انشر حاصل الضرب في الطرف الأيسر:

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]
\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

استخدم المتطابقتين \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) و \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) لتحويل الحدين الأول والأخير:

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]
\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

تتخالف حدود \( 2\cos(x)\sin^2(x) \):

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

تم تحويل الطرف الأيسر ليطابق الطرف الأيمن. وبذلك ينتهي البرهان.

السؤال 7: النسب المنزاحة

أوجد \( \sin(x) \) و \( \tan(x) \) إذا كان \( \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) = - \dfrac{3}{5} \) و \( \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{4}{5} \).

عرض الحل

انشر وبسط المعادلة الأولى باستخدام متطابقات المتممة:

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

انشر وبسط المعادلة الثانية:

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

احسب الآن \( \tan(x) \):

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

السؤال 8: جمع الظل

أوجد القيمة الدقيقة لـ:

\[ \dfrac{\tan (25^{\circ})+ \tan (50^{\circ})}{1 - \tan( 25^{\circ}) \tan(50^{\circ})} \]

عرض الحل

يمكن استخدام صيغة جمع الظل بصورة عكسية هنا:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]
\[ = \tan(75^\circ) \]
\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

انشر باستخدام الزوايا الخاصة:

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]
\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

اضرب بسط ومقام الكسر في 3:

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

انطق المقام:

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

السؤال 9: صيغة المجموع

أوجد القيمة الدقيقة لـ \( \tan (s + t) \) علماً بأن \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \)، و \( s \) في الربع الثاني، وأن \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \)، و \( t \) في الربع الرابع.

عرض الحل

بمعرفة \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) و \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \)، والربعين الخاصين بهما، استخدم متطابقة فيثاغورس لإيجاد \( \cos(s) \) و \( \cos(t) \).

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{و} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

نشر صيغة مجموع الظل باستخدام الجيب وجيب التمام:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]
\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

عوض بالقيم:

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]
\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

اضرب في 8 وبسط \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \):

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

إنطاق المقام يعطي:

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

السؤال 10: تطبيق نصف الزاوية

أوجد القيمة الدقيقة لـ \( \cos \left(\dfrac{13 \pi}{12} \right) \).

عرض الحل

أولاً، بسط الزاوية إلى ربع مألوف:

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

طبق الآن صيغة نصف الزاوية نظراً لأن \( \dfrac{\pi}{12} \) هي نصف \( \dfrac{\pi}{6} \):

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

عوض بـ \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \):

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]
\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

الدوال والتمثيل البياني

السؤال 11: إزاحة تمثيل الجيب البياني

تمثيل الدالة \( f \) البياني هو تمثيل الدالة \( g(x) = a \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3} \right) \) مزاحاً رأسياً بمقدار \( + 2 \). وأيضاً \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \). أوجد صيغة للدالة \( f \) بدلالة \( x \).

عرض الحل

تُعطى الدالة \( f \) بالصورة:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

يمثل هذا إزاحة رأسية لتمثيل \( g(x) \) البياني للأعلى بمقدار وحدتين. وتُعطى القيمة \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \).

عوض بـ \( x = \dfrac{\pi}{2} \) في الدالة:

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]
\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

باستخدام القيمة المعروفة \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)، نحصل على:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]
\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

المعادلة النهائية:

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

السؤال 12: إيجاد المعادلة

اكتب معادلة لدالة جيب بسعة \( 5/3 \)، ودورة \( \pi/2 \)، وإزاحة رأسية بمقدار \( 4 \) وحدات للأعلى.

عرض الحل

الصورة العامة للدالة مُعطاة كالتالي:

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

من المسألة، نعرف: السعة \( A = 5/3 \)، الإزاحة الرأسية \( D = 4 \)، وإزاحة الطور \( C = 0 \).

أُخبرنا أن الدورة هي \( \pi/2 \). العلاقة بين الدورة و \( B \) هي:

\[ \text{الدوة} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

حل المعادلة بالنسبة لـ \( B \):

\[ B = 4 \]

عوض بـ \( A \)، و \( B \)، و \( D \) في الدالة:

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

حل المثلثات

السؤال 13: قانونا الجيب وجيب التمام

ما هي الزاوية \( B \) للمثلث \( ABC \)، علماً بأن \( A = 46^\circ \)، و \( b = 4 \)، و \( c = 8 \)؟ (ملاحظة: الضلع \( a \) يقابل الزاوية \( A \)، والضلع \( b \) يقابل الزاوية \( B \)، والضلع \( c \) يقابل الزاوية \( C \)).

عرض الحل

لإيجاد طول الضلع \( a \)، نطبق قانون جيب التمام:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]
\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]
\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5.963 \]

بعد ذلك، نستخدم قانون الجيب لإيجاد الزاوية \( B \):

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]
\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5.963} \]

حل المعادلة بالنسبة للزاوية \( B \):

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5.963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (مقرباً إلى أقرب درجة)} \]

السؤال 14: ثلاثيات فيثاغورس

أوجد جميع زوايا مثلث أطوال أضلاعه \( 9 \)، و \( 12 \)، و \( 15 \).

عرض الحل

لاحظ أن:

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

هذا يعني أن المثلث المعني هو مثلث قائم الزاوية. أكبر زاوية تساوي تماماً \( 90^\circ \).

ليكن الزاوية \( A \) هي الزاوية المقابلة للضلع الذي طوله 9. باستخدام SOH CAH TOA:

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \dfrac{9}{15} \]

الزاوية \( A \) تقارب \( 37^\circ \) (مقربة إلى أقرب درجة).

الزاوية الثالثة هي:

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

مسائل تحدي

هل أنت مستعد لاختبار حدودك؟ تدمج مسائل التحدي هذه مفاهيم متعددة من الصف الحادي عشر بما في ذلك المعادلات، والمتطابقات، والهندسة المتقدمة.

التحدي 1: المعادلات المثلثية التربيعية

أوجد جميع حلول \( x \) في الفترة \( [0, 2\pi) \) للمعادلة:

\[ 2\cos^2(x) + \sin(x) = 1 \]

عرض الحل

الخطوة 1: استخدم متطابقة فيثاغورس \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) لكتابة المعادلة بالكامل بدلالة الجيب.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]
\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

الخطوة 2: انقل جميع الحدود إلى طرف واحد لتكوين معادلة تربيعية قياسية مساوية للصفر.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

الخطوة 3: حلل المقدار التربيعي. اعتبر \( \sin(x) \) كمتغير.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

الخطوة 4: حل كل عامل بالنسبة لـ \( x \) على الفترة \( [0, 2\pi) \).

الحالة 1: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

الحالة 2: \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

الإجابة: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

التحدي 2: التبسيط المتقدم

بسط التعبير التالي بالكامل:

\[ \dfrac{\sin(3x)}{\sin(x)} - \dfrac{\cos(3x)}{\cos(x)} \]

عرض الحل

الخطوة 1: اجمع الكسرين بإيجاد مقام مشترك، وهو \( \sin(x)\cos(x) \).

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

الخطوة 2: لاحظ أن البسط هو بالضبط الصورة المنشورة لمتطابقة فرق الجيب: \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]
\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

الخطوة 3: طبق متطابقة الزاوية المضاعفة للجيب في البسط: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

الخطوة 4: اختصر الحدود المشتركة.

الإجابة: \( \mathbf{2} \)

التحدي 3: المساحة الدقيقة للمثلث

مثلث غير قائم الزاوية أطوال أضلاعه \( a = 5 \)، و \( b = 7 \)، و \( c = 8 \). أوجد المساحة الدقيقة للمثلث باستخدام حساب المثلثات بدون آلة حاسبة.

عرض الحل

الخطوة 1: لإيجاد المساحة باستخدام \( \text{المساحة} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \)، نحتاج أولاً لإيجاد الزاوية \( C \). يمكننا استخدام قانون جيب التمام لذلك.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]
\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]
\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]
\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

الخطوة 2: استخدم الآن متطابقة فيثاغورس لإيجاد \( \sin(C) \). بما أن \( C \) زاوية في مثلث، يجب أن تكون \( \sin(C) \) موجبة.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]
\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

الخطوة 3: احسب المساحة.

\[ \text{المساحة} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

تتخالف الـ 7، و \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

\[ \text{المساحة} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]

مواضيع حساب مثلثات ذات صلة

المزيد من موارد الرياضيات