إتقان متجهات الأبعاد الثلاثة (\(R^3\)): 12 مسألة تدريبية

اختبر معرفتك بهندسة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد وعمليات المتجهات.

تجد أدناه 12 سؤالاً تدريبياً تغطي مركبات المتجهات ثلاثية الأبعاد، والمقادير، ووحدات المتجهات، والضرب القياسي، والبراهين الهندسية. حاول حل كل مسألة قبل توسيع الحل المفصل خطوة بخطوة. إذا كنت بحاجة إلى مراجعة النظرية، راجع دليل تعريفات وعمليات متجهات الأبعاد الثلاثة.

السؤال 1

جد مركبات المتجهين \( \vec{AB} \) و \( \vec{BA} \) حيث \( A \) و \( B \) نقطتان معرفتان بإحداثياتهما \( A(2,6,7) \) و \( B(0,-3,1) \). أظهر أن \( \vec{AB} = -1 \vec{BA} \).

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

بالنظر إلى النقطتين \( A(x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) و \( B(x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \)، نستخدم صيغة المركبات:

\[ \vec{AB} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \]
\[ \vec{BA} = \langle x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 \rangle = \langle 2-0, 6-(-3), 7-1 \rangle = \langle 2, 9, 6 \rangle \]

لإظهار العلاقة:

\[ \vec{AB} = \langle -2, -9, -6 \rangle = -1 \langle 2, 9, 6 \rangle = -1\vec{BA} \]

السؤال 2

بالتحديد المتجهين \( \vec{v_1} = \langle 0,-3,2 \rangle \) و \( \vec{v_2} = \langle -3,4,5 \rangle \)، جد:

  1. \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)
  2. \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)
  3. \( -3\vec{v_1} \)
  4. \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)
  5. \( k \) بحيث يكون \( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \)
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

أ) استخدم صيغة المجموع:

\[ \vec{v_1} + \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0+(-3), -3+4, 2+5 \rangle = \langle -3, 1, 7 \rangle \]

ب) استخدم صيغة الفرق:

\[ \vec{v_1} - \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle - \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0-(-3), -3-4, 2-5 \rangle = \langle 3, -7, -3 \rangle \]

ج) استخدم الضرب القياسي:

\[ -3\vec{v_1} = -3 \langle 0,-3,2 \rangle = \langle -3(0), -3(-3), -3(2) \rangle = \langle 0, 9, -6 \rangle \]

د) مزيج من الضرب القياسي والمجموع:

\[ -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\langle 0,-3,2 \rangle + 3\langle -3,4,5 \rangle = \langle 0,6,-4 \rangle + \langle -9,12,15 \rangle = \langle -9, 18, 11 \rangle \]

هـ) جد المتجه \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \):

\[ \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + k \langle -3,4,5 \rangle = \langle -3k, -3+4k, 2+5k \rangle \]

جد المقدار واجعله مساوياً لـ \( \sqrt{67} \):

\[ \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67} \]

ربع الطرفين، واقواس الفك، ثم اجمع:

\[ 9k^2 + (9 - 24k + 16k^2) + (4 + 20k + 25k^2) = 67 \] \[ 50k^2 - 4k + 13 = 67 \implies 50k^2 - 4k - 54 = 0 \]

حل المعادلة التربيعية للحصول على: \( k = -1 \) و \( k = 27/25 \).

السؤال 3

بالتحديد المتجه \( \vec{v} = \langle 0,-3,2 \rangle \)، جد متجه الوحدة في نفس اتجاه \( \vec{v} \) وتأكد من أن مقداره يساوي 1.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

يُعطى متجه الوحدة \( \vec{u} \) بالعلاقة \( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} \).

\[ || \vec{v} || = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13} \] \[ \vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{13}} \langle 0,-3,2 \rangle = \left\langle 0, \dfrac{-3}{\sqrt{13}}, \dfrac{2}{\sqrt{13}} \right\rangle \]

احسب مقدار \( \vec{u} \) للتحقق:

\[ || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + \left(\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{9}{13} + \dfrac{4}{13} } = \sqrt{ \dfrac{13}{13} } = 1 \]

السؤال 4

بالتحديد النقاط A(2,6,7)، B(0,-3,1) و C(0,3,4)، جد مركبات المتجهات \( \vec{AB} \)، \( \vec{AC} \) و \( \vec{BC} \) وأظهر أن \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

جد المركبات باستخدام إحداثيات الطرف ناقص البداية:

\[ \vec{AB} = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 0-0, 3-(-3), 4-1 \rangle = \langle 0, 6, 3 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 0-2, 3-6, 4-7 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

الآن، تحقق من المجموع:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \langle -2, -9, -6 \rangle + \langle 0, 6, 3 \rangle = \langle -2+0, -9+6, -6+3 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

هذه النتيجة تتطابق تماماً مع مركبات \( \vec{AC} \).

السؤال 5

بالتحديد النقاط A(-1,2,1)، B(2,4,2) و C(5,6,3)، جد مركبات المتجهات \( \vec{AB} \)، \( \vec{BC} \) و \( \vec{AC} \) وحدد أي من هذه المتجهات متطابقة وأيها متوازية.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:
\[ \vec{AB} = \langle 2-(-1), 4-2, 2-1 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 5-2, 6-4, 3-2 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 5-(-1), 6-2, 3-1 \rangle = \langle 6, 4, 2 \rangle \]

\( \vec{AB} \) و \( \vec{BC} \) لهما مركبات متساوية وبالتالي فهما متطابقان.

لاحظ العلاقة مع \( \vec{AC} \):

\[ \vec{AC} = \langle 6, 4, 2 \rangle = 2 \langle 3, 2, 1 \rangle = 2\vec{BC} \]

لذلك، \( \vec{AC} \) هو مضاعف قياسي لـ \( \vec{BC} \) (و \( \vec{AB} \))، مما يعني أن المتجهات الثلاثة متوازية.

السؤال 6

بالتحديد المتجهين \( \vec{v_1} = \langle -4,0,2 \rangle \) و \( \vec{v_2} = \langle -1,-4,2 \rangle \)، جد المتجه \( \vec{v} \) بحيث يكون \( \vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \).

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

لتكن \( \vec{v} = \langle x,y,z \rangle \) وأعد كتابة المعادلة باستخدام المركبات:

\[ \langle -4,0,2 \rangle - 2 \langle x,y,z \rangle = 3 \langle x,y,z \rangle - 3 \langle -1,-4,2 \rangle \]

اضرب وبسط كل طرف:

\[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x - 3(-1), 3y - 3(-4), 3z - 3(2) \rangle \] \[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x + 3, 3y + 12, 3z - 6 \rangle \]

اجعل المركبات المتناظرة متساوية وحل:

  • \( -4 - 2x = 3x + 3 \implies -5x = 7 \implies x = -7/5 \)
  • \( -2y = 3y + 12 \implies -5y = 12 \implies y = -12/5 \)
  • \( 2 - 2z = 3z - 6 \implies -5z = -8 \implies z = 8/5 \)

المتجه النهائي: \( \vec{v} = \langle -7/5, -12/5, 8/5 \rangle \)

السؤال 7

جد متجهاً في نفس اتجاه المتجه \( \vec{v} = \langle -4,2,2 \rangle \) ولكن بطول ضعف طول \( \vec{v} \).

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

المتجه \( \vec{u} \) في نفس الاتجاه مع ضعف الطول هو ببساطة المضاعف القياسي لـ \( \vec{v} \) بـ 2:

\[ \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \langle -4,2,2 \rangle = \langle -8, 4, 4 \rangle \]

السؤال 8

جد متجهاً في عكس اتجاه المتجه \( \vec{v} = \langle -1,2,2 \rangle \) ولكن بطول قدره 5 وحدات.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

أولاً، جد متجه الوحدة في عكس اتجاه \( \vec{v} \)، وهو \( -\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \).

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \]

متجه الوحدة في الاتجاه المعاكس هو \( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \).

لكي يكون له طول قدره 5، اضربه بالعدد القياسي 5:

\[ \vec{u} = 5 \left( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \right) = -\dfrac{5}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle = \left\langle \dfrac{5}{3}, -\dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3} \right\rangle \]

السؤال 9

بالتحديد المتجه \( \vec{v} = \langle -1,2,2 \rangle \)، جد عدداً حقيقياً \( k \) بحيث يكون \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

نستخدم خاصية مقدار العدد القياسي: \( ||k \vec{v} || = |k| \cdot || \vec{v} || \).

أولاً، جد مقدار \( \vec{v} \):

\[ || \vec{v} || = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3 \]

عوض بهذا في المعادلة:

\[ 3|k| = \dfrac{1}{5} \implies |k| = \dfrac{1}{15} \]

وهذا ينتج عنه حلين محتملين لـ \( k \):

\[ k = \dfrac{1}{15} \quad \text{و} \quad k = -\dfrac{1}{15} \]

السؤال 10

جد \( b \) و \( c \) بحيث يكون المتجهان \( \vec{v_1} = \langle -4,6,2 \rangle \) و \( \vec{v_2} = \langle 2,b,c \rangle \) متوازيين.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

تكون المتجهات متوازية إذا كان أحدها مضاعفاً قياسياً للآخر: \( \vec{v_1} = k \vec{v_2} \).

\[ \langle -4,6,2 \rangle = k \langle 2,b,c \rangle = \langle 2k, kb, kc \rangle \]

أنشئ معادلات لكل مركبة:

  • \( -4 = 2k \implies k = -2 \)
  • \( 6 = kb \implies 6 = -2b \implies b = -3 \)
  • \( 2 = kc \implies 2 = -2c \implies c = -1 \)

النتيجة: \( b = -3 \) و \( c = -1 \).

السؤال 11

هل النقاط الثلاث A(2,6,7)، B(1,4,5) و C(0,2,3) على استقامة واحدة؟

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

لكي تقع النقاط A و B و C على استقامة واحدة، يجب أن يكون المتجهان \( \vec{AB} \) و \( \vec{AC} \) متوازيين (مما يعني \( \vec{AC} = k \vec{AB} \)).

\[ \vec{AC} = \langle 0-2, 2-6, 3-7 \rangle = \langle -2, -4, -4 \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 1-2, 4-6, 5-7 \rangle = \langle -1, -2, -2 \rangle \]

تحقق من وجود مضاعف قياسي:

\[ \langle -2, -4, -4 \rangle = 2 \langle -1, -2, -2 \rangle \]

بما أن \( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \)، فإن المتجهات متوازية وتتشارك في النقطة A. لذلك، النقاط تقع على استقامة واحدة.

نقاط على استقامة واحدة في الفضاء ثلاثي الأبعاد

السؤال 12

مكعب طول ضلعه وحدتان مبين أدناه.

مكعب ثلاثي الأبعاد لمسألة المتجهات
  1. جد مركبات المتجهات \( \vec{AB} \)، \( \vec{EF} \)، \( \vec{DC} \)، \( \vec{HG} \)، \( \vec{AC} \) و \( \vec{AG} \).
  2. أي من المتجهات في الجزء (أ) متطابقة؟
  3. أثبت جبرياً أن \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).
  4. جد \( || \vec{AG} || \).
  5. جد متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه \( \vec{AG} \).
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

أ) أولاً، حدد إحداثيات الرؤوس بناءً على طول ضلع قدره 2 وأن النقطة A تقع في الأصل:

A(0,0,0)، B(2,0,0)، C(2,2,0)، D(0,2,0)، E(0,0,2)، F(2,0,2)، G(2,2,2)، H(0,2,2).

  • \( \vec{AB} = \langle 2-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
  • \( \vec{EF} = \langle 2-0, 0-0, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
  • \( \vec{DC} = \langle 2-0, 2-2, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
  • \( \vec{HG} = \langle 2-0, 2-2, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
  • \( \vec{AC} = \langle 2-0, 2-0, 0-0 \rangle = \langle 2,2,0 \rangle \)
  • \( \vec{AG} = \langle 2-0, 2-0, 2-0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

ب) المتجهات \( \vec{AB} \)، \( \vec{EF} \)، \( \vec{DC} \)، و \( \vec{HG} \) لها مركبات متساوية \( \langle 2,0,0 \rangle \) وبالتالي فهي متطابقة.

ج) احسب الطرفين الأيمن والأيسر جبرياً:

الطرف الأيسر: \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \langle 2,0,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle + \langle 0,2,0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

الطرف الأيمن: \( \vec{AC} + \vec{CG} = \langle 2,2,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

وبالتالي، \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).

د) جد مقدار \( \vec{AG} \):

\[ || \vec{AG} || = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

هـ) متجه الوحدة في اتجاه \( \vec{AG} \):

\[ \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \langle 2,2,2 \rangle = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\rangle \]

بحاجة إلى مراجعة؟

راجع الصيغ والتعريفات في دليل متجهات الأبعاد الثلاثة.