متجهات الأبعاد الثلاثة (\(R^3\)): دليل شامل والعمليات

ما هو المتجه؟

المتجه هو كمية لها كل من المقدار والاتجاه. يُمثل هندسياً بواسطة قطعة مستقيمة طولها هو المقدار وسهم يشير إلى اتجاهه كما هو موضح في الشكل أدناه. تُستخدم المتجهات في الفيزياء لتصميمه كميات ذات أحجام واتجاهات مثل السرعات، القوى، التسارعات؛ وفي الهندسة، والكيمياء، ورسومات الحاسوب، والروبوتات، والعديد من المجالات الأخرى.

في الشكل أعلاه، يُعرّف المتجه باستخدام نقطة بداية A ونقطة نهاية B. لذلك قد يُمثّل المتجه بـ \( \vec{AB} \).

المتجهات المتطابقة

المتجهات التي لها مقادير متساوية ونفس الاتجاه هي متجهات متطابقة، بغض النظر عن موقعها في الفضاء.

عمليات المتجهات الهندسية

مجموع متجهين

بالتحديد المتجهين \( \vec{v_1} \) و \( \vec{v_2} \)، فإن مجموعهما هو متجه يُحصل عليه أولاً بوضع المتجه \( \vec{v_2} \) بحيث تتطابق نقطة بدايته مع نقطة نهاية \( \vec{v_1} \). المجموع \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) هو المتجه الذي نقطة بدايته هي نقطة بداية \( \vec{v_1} \) ونقطة نهايته هي نقطة نهاية \( \vec{v_2} \).

لاحظ أن \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). وأيضاً، يتطابق مجموع متجهين مع قطري متوازي الأضلاع الذي يحدده \( \vec{v_1} \) و \( \vec{v_2} \).

فرق متجهين

بالتحديد المتجهين \( \vec{v_1} \) و \( \vec{v_2} \)، يمكن تعريف الفرق \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) على أنه المجموع \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) ويتم تمثيله هندسياً كما هو موضح أدناه.

ضرب متجه في عدد قياسي

يُعرف المتجه \( \vec{v_1} \) المضروب في عدد قياسي \( k \) بأنه متجه \( k\vec{v_1} \) موازٍ لـ \( \vec{v_1} \) واتجاهه هو نفس اتجاه \( \vec{v_1} \) إذا كان \( k \gt 0 \) وعكسه إذا كان \( k \lt 0 \). مقدار (طول) \( k\vec{v_1} \) هو \( | k | \) أضعاف مقدار \( \vec{v_1} \).

يوضح الشكل أدناه المتجهات \( \vec{v_1} \)، \( 2\vec{v_1} \) و \( -3 \vec{v_1} \).

المتجهات في نظام إحداثي مستطيل ثلاثي الأبعاد

متجه الوحدة هو متجه مقداره يساوي 1. يوضح أدناه نظام إحداثي مستطيل ثلاثي الأبعاد مع متجهات الوحدة \(\vec{i} \)، \(\vec{j} \)، و \(\vec{k} \) في الاتجاه الموجب لمحاور x و y و z على التوالي. يمكن تعريف المتجهات \(\vec{i} \)، \(\vec{j} \)، و \(\vec{k} \) من خلال مركباتها على النحو التالي:

• \(\vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle\)، وحدة واحدة على طول محور x.
• \(\vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle\)، وحدة واحدة على طول محور y.
• \(\vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle\)، وحدة واحدة على طول محور z.

مركبات المتجه

تُعرّف مركبات أي متجه \(\vec{v} \) بالتعبير عن \(\vec{v} \) كمجموع مضاعفات متجهات الوحدة \(\vec{i} \) و \(\vec{j} \) و \(\vec{k} \) على النحو التالي:

أو في شكل مركبات باستخدام الأقواس الزاوية على النحو التالي:

تُعطى مركبات المتجه \(\vec{v} \) المعرف بنقطة بدايته \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \) ونقطة نهايته \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \) بالعلاقة:

حساب المقدار ومتجهات الوحدة

بالتحديد المتجه \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \)، يُعطى مقداره (أو طوله) بالعلاقة:

يُعطى متجه الوحدة \( \vec{u} \)، المعرف كمتجه مقداره يساوي 1، في نفس اتجاه \( \vec{v} \) بالعلاقة:

المجموع الجبري، والفرق، والضرب القياسي

بالتحديد المتجهين \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \) و \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \)، يُعطى المجموع \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)، والفرق \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)، والضرب القياسي \( k \vec{v_1} \) (حيث k عدد حقيقي) بالعلاقة: