اختبار تدريبي شامل لرياضيات الصف الثاني عشر: 17 مسألة مع الحلول

1. انقُل جميع الحدود إلى طرف واحد:

2. أوجد المقام المشترك وهو $(x+2)(x-1)$:

3. حدد النقاط الحرجة: $x = -0.5$ (البسط يساوي صفراً)، $x = -2$ و $x = 1$ (المقام غير معرف).

4. اختبر الفترات:

• $(-\infty, -2)$: اختبر $x = -3 \implies \dfrac{5}{(-1)(-4)} > 0$ (صحيح)
• $(-2, -0.5]$: اختبر $x = -1 \implies \dfrac{1}{(1)(-2)} < 0$ (خطأ)
• $[-0.5, 1)$: اختبر $x = 0 \implies \dfrac{-1}{(2)(-1)} > 0$ (صحيح)
• $(1, \infty)$: اختبر $x = 2 \implies \dfrac{-5}{(4)(1)} < 0$ (خطأ)

مجموعة الحل:

المتباينة: $x < -2$ أو $-0.5 \leq x < 1$

الفترة: $(-\infty, -2) \cup [-0.5, 1)$

1. أعد كتابة $1/\sec x$ على صورة $\cos x$:

2. استخدم متطابقة ضعف الزاوية $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

3. طبق القانون العام للمعادلة التربيعية لـ $\cos x$:

4. قيّم القيم:

• $\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1.82$ (مستحيلة، لأن $|\cos x| \leq 1$)
• $\dfrac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0.823$ (صالحة)

5. أوجد $x$: $x = \arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$. وتحدث في الربعين الثاني والثالث.

$x \approx 2.54 \text{ راديان}$ و $x \approx 3.74 \text{ راديان}$.

1. ادمج اللوغاريتمات باستخدام قاعدة القسمة:

2. حول إلى الصورة الأسية:

3. أعد ترتيبها إلى معادلة تربيعية:

4. حل باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية:

ملاحظة: يجب أن يكون $x$ أكبر من 1 لكي تكون الدالة الأصلية $\ln(x-1)$ معرفة. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد القيم العشرية والتحقق من المجال.

1. لتكن $u = 2^x$. إذن $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2$.

2. عوض في المعادلة:

3. حلل المقدار التربيعي:

4. أوجد قيمة $u$:

• $u = -10/3$ (مرفوضة، لأن $2^x$ يجب أن تكون موجبة)
• $u = 3$ (صالح)

5. أوجد قيمة $x$:

1. ابدأ بالطرف الأيمن (LHS). استخدم $\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$:

2. استخدم متطابقة ضعف الزاوية $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

3. العمل على الطرف الأيمن (RHS). تذكر متطابقة ضعف الزاوية $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$:

4. الخلاصة: LHS = RHS. تم التحقق من المتطابقة.

1. بسّط الزاوية: $\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}$. بما أن $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$:

2. استخدم متطابقة الفرق $\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ حيث $A = \dfrac{\pi}{4}$ و $B = \dfrac{\pi}{6}$:

3. انطق المقام وبسّط:

1. من مبرهنة العامل، بما أن $x - 1$ عامل، إذن $P(1) = 0$.

2. من مبرهنة الباقي، $P(-1) = 4$ و $P(2) = 4$.

3. ليكون $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$ بما أن الدرجة هي 3 والمعامل الرئيسي هو 1.

4. استخدم $P(-1) = 4$:

5. استخدم $P(2) = 4$:

6. أوجد قيمة $b$ و $c$: عوض بـ $c = -2b$ في المعادلة $c - b = -3$:

7. كثير الحدود النهائي: $P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. أخرج العامل المشترك $-x$: $f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$.

2. اختبر جذور الحد التكعيبي. $P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. إذن $(x - 1)$ عامل.

3. استخدم القسمة لإيجاد العامل التربيعي: $x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)$.

4. حلل المقدار التربيعي: $(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$.

الصورة التحليلية الكاملة: $f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2$.

5. الأصفار: $x = 0$ (تكرار 1)، $x = 1$ (تكرار 1)، $x = -3$ (تكرار 2).

1. حدد الأصفار والتكرارات من التمثيل البياني:

• عند $x = -2$: يقطع التمثيل البياني المحور (تكرار 1).
• عند $x = -1$: يلامس التمثيل البياني المحور (تكرار 2).
• عند $x = 2$: يقطع التمثيل البياني المحور (تكرار 1).

2. اكتب الصيغة العامة: $g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)$.

3. استخدم نقطة التقاطع مع محور y و هي $(0, 2)$ لإيجاد قيمة $a$:

المعادلة النهائية:

1. حدد المعاملات الأساسية:

• السعة: 0.5 (منعكسة حول خط المنتصف)
• الدورة: $2\pi/4 = \pi/2$
• إزاحة الطور: $-\pi/16$ (لليسار)
• الإزاحة الرأسية (خط المنتصف): $y = 2.5$

2. النقاط الرئيسية (تبدأ عند إزاحة الطور، وتزداد بمقدار الدورة/4 = $\pi/8$):

• $x = -\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = \pi/16 \implies y = 2.0$ (صغرى بسبب الجيب السالب)
• $x = 3\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = 5\pi/16 \implies y = 3.0$ (عظمى)
• $x = 7\pi/16 \implies y = 2.5$

3. تمثيل بياني:

1. أوجد السعة ($A$): العظمى = 1، الصغرى = 0.

2. أوجد الإزاحة الرأسية ($d$):

3. أوجد الدورة ($P$): معطاة كـ 3 ثوانٍ.

4. احسب $b$:

5. أوجد إزاحة الطور ($c$): لدالة جيب التمام، تتوافق الإزاحة مع الموقع الأفقي للقيمة العظمى. تشير المسألة إلى أن القيمة العظمى تقع عند $t = 2.25$.

المعادلة النهائية:

أ) المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا ما يجعل المقام صفراً. $x \neq -2$.

ب) نقاط التقاطع:

• تقاطع x (اجعل $y=0$): $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
• تقاطع y (اجعل $x=0$): $y = -4/2 = -2$.

ج) خطوط التقارب:

• رأسي: $x = -2$.
• أفقي (النهاية عندما $x \to \infty$): $y = 2/1 = 2$.

التمثيل البياني:

أ) المجال: $x \in \mathbb{R}, x \neq -2$.

ب) نقاط التقاطع: تقاطع x عند $x = \pm 3$؛ تقاطع y عند $y = -4.5$.

ج) خطوط التقارب:

• رأسي: $x = -2$.
• أفقي: لا توجد (درجة البسط أكبر من المقام).
• مائل: استخدم القسمة المطولة. $(x^2-9) \div (x+2) = (x-2)$ مع باقي $-5$. خط التقارب المائل هو $y = x - 2$.

جدول الإشارات:

1. حدد الثقب: الثقب عند $x = 2$. هذا يعني أن $(x - 2)$ يجب أن يكون عاملاً في كل من البسط والمقام.

2. حدد خط التقارب الرأسي: يوجد خط تقارب رأسي عند $x = 1$. هذا يعني أن $(x - 1)$ عامل في المقام.

3. حدد خط التقارب الأفقي (HA): خط التقارب الأفقي عند $y = 0$. يؤكد هذا أن درجة المقام (درجة 2) أكبر من درجة البسط (التي يجب أن تكون من الدرجة 1).

4. إنشاء الدالة:

5. تحديد الثابت $a$ باستخدام الثقب عند $(2, 2)$:

6. المعادلة النهائية:

ملاحظة: الصورة المبسطة للرسم (باستثناء الثقب) هي \( y = \dfrac{2}{x - 1} \).

أ) المجال: يجب أن يكون ما بداخل اللوغاريتم موجباً. $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ أو $x < -1$.

ب) نقاط التقاطع: لا يوجد تقاطع مع محور y (الصفر ليس في المجال). لتقاطع x، اجعل $y=0$:

ج) خطوط التقارب: خطوط تقارب رأسية حيث يقترب ما بداخل اللوغاريتم من الصفر: $x = 1$ و $x = -1$.

د) لاحظ أن $f(-x) = f(x)$ وبالتالي فإن التمثيل البياني متماثل بالنسبة لمحور y.

أ) المجال: جميع الأعداد الحقيقية $(-\infty, \infty)$.

ب) نقاط التقاطع: تقاطع y عند $x = 0 \implies y = 2 + e^{-2} \approx 2.135$. لا يوجد تقاطع مع محور x لأن $e^{(x-2)} + 2$ أكبر دائماً من 2.

ج) خطوط التقارب: خط التقارب الأفقي عندما $x \to -\infty$ هو $y = 2$.

أ) المجال: $2x - 1 > 0 \implies x > 0.5$. المدى: جميع الأعداد الحقيقية.

ب) إيجاد المعكوس:

الدالة العكسية: $h^{-1}(x) = 0.5(e^{x-2} + 1)$.

مجال الدالة العكسية: جميع الأعداد الحقيقية. مدى الدالة العكسية: $y > 0.5$.