كيفية إنشاء جدول إشارات لكثيرات الحدود

1. إيجاد الأصفار:
نوجد أولاً أصفار دالة كثير الحدود $p(x)$ بمساواتها بالصفر:

لكي يكون $p(x) = 0$، يجب أن يتحقق أحد ما يلي:

حل كل معادلة للحصول على أصفار $p(x)$:

2. تحليل العوامل:
باستخدام الصورة المحللة وأصفارها، ندرس إشارة كل عامل:

• $(x - 1)^2$ موجبة دائماً لجميع قيم $x$ ما عدا عند $x = 1$.
• $x - \sqrt{3} > 0$ عندما $x > \sqrt{3}$.
• $x + \sqrt{3} > 0$ عندما $x > -\sqrt{3}$.

3. بناء جدول الإشارات:
نضع كل عامل في الجدول ونستخدم قواعد ضرب الإشارات لتحديد إشارة $p(x)$ النهائية.

4. رسم التمثيل البياني:
نستخدم أصفار $p(x)$ (التي تعمل كنقاط تقاطع مع محور x)، وجدول الإشارات، ونقطة التقاطع مع محور y $(0, -3)$ لإكمال الرسم البياني.

1. كتابة العوامل:
نكتب أولاً عوامل كثير الحدود $f$ مع تكراراتها المقابلة:

• صفر بتكرار 1 عند $x = -1 \implies \text{العامل: } (x + 1)$
• صفر بتكرار 3 عند $x = 1 \implies \text{العامل: } (x - 1)^3$
• صفر بتكرار 2 عند $x = 3 \implies \text{العامل: } (x - 3)^2$

2. صياغة المعادلة:
ليكن $k$ (سالباً) هو المعامل الرئيسي لـ $f$. باستخدام جميع العوامل أعلاه، نكتب $f(x)$ على صورة:

3. دراسة إشارات العوامل:

• $x + 1 > 0$ عندما $x > -1$
• $(x - 1)^3 > 0$ عندما $x > 1$
• $(x - 3)^2 > 0$ لجميع قيم $x$ عدا $x = 3$
• $k < 0$ يعني أن الإشارات النهائية للناتج ستنعكس.

4. بناء جدول الإشارات:
يعرض الجدول أدناه إشارات كل عامل وكثير الحدود النهائي $f(x)$ في الصف الأخير.

1. تحليل كثير الحدود:
أولاً، أخرج العامل المشترك الأكبر، وهو $-2x^3$:

الآن، حلل الفرق بين مربعين:

2. إيجاد الأصفار:
مساواة $g(x) = 0$ تعطي أصفاراً عند $x = 0$ (تكرار 3)، وعند $x = 2$ (تكرار 1)، وعند $x = -2$ (تكرار 1). تقسم هذه الأصفار خط الأعداد إلى أربع فترات: $(-\infty, -2)$، و $(-2, 0)$، و $(0, 2)$، و $(2, \infty)$.

3. بناء جدول الإشارات:
نستخدم جدول إشارات لتحديد إشارة كثير الحدود الإجمالية عبر الفترات الحرجة.

الخلاصة:
من خلال ملاحظة الصف الأخير في جدول الإشارات، يكون كثير الحدود $g(x)$ موجباً على الفترات $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$.

1. التحليل بالتجميع:
جمّع الحدين الأولين والحدين الأخيرين معاً:

أخرج العامل المشترك الثنائي $(x - 3)$:

تحليل الفرق بين مربعين:

2. إيجاد الأصفار والفترات:
الجذور هي $x = -2, 2, \text{ و } 3$. وبما أن جميعها تمتلك تكراراً فردياً قدره 1، فإن الإشارة ستتبادل عند كل جذر.

3. بناء جدول الإشارات:

الخلاصة:
بناءً على الجدول، يكون $h(x) < 0$ على الفترات $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (2, 3)}$.

1. تحليل كل عامل:

• $x^2 + 1$: هذا مقدار تربيعي لا يمكن تحليله. وهو موجب تماماً ($>0$) لجميع الأعداد الحقيقية $x$.
• $x^4$: هذا أس زوجي. وهو موجب لجميع قيم $x$، ما عدا عند $x = 0$ حيث يساوي 0.
• $(x - 5)^3$: هذا أس فردي. وهو سالب عندما $x < 5$، ويساوي صفر عند $x = 5$، وموجب عندما $x > 5$.

2. بناء جدول الإشارات:
نضع النقطتين الحرجتين $x=0$ و $x=5$ في الفترات.

الخلاصة:

• $P(x) < 0$ عندما $\mathbf{x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)}$
• $P(x) = 0$ عند $\mathbf{x = 0}$ و $\mathbf{x = 5}$
• $P(x) > 0$ عندما $\mathbf{x \in (5, \infty)}$